1.1.5. Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
(7)
называется
уравнением в полных дифференциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
,
т.е.
,
где
.
Для того чтобы уравнение (7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Если уравнение (7) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде
.
Общий интеграл
этого уравнения
,
где
– произвольная постоянная.
Функция может быть найдена следующим образом. Интегрируя равенство
по при фиксированном и, замечая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , имеем
(
играет роль константы в неопределённом
интеграле).
Чтобы найти функцию
,
воспользуемся вторым уравнением
.
Для этого продифференцируем найденную
функцию
по переменной
.
Отметим, что в получаемом на этом этапе решения дифференциальном уравнении не должно остаться членов, содержащих . Решив это уравнение, найдём функцию и тем самым общий интеграл исходного уравнения
.
1.2. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные определения, теорема Коши.
Определение. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
(8)
или
.
(9)
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Определение.
Задачей
Коши для дифференциального уравнения
(9) называется задача отыскания решения
,
удовлетворяющего заданным начальным
условиям
. (10)
Определение.
Общим решением уравнения (8) или (9)
называется такая функция
,
которая при любых допустимых значениях
параметров
является решением этого дифференциального
уравнения и для любой задачи Коши с
начальными условиями (10) найдутся
постоянные
,
определяемые системой уравнений
Определение.
Уравнение
,
определяющее общее решение как неявную
функцию, называется общим интегралом
дифференциального уравнения.
Теорема
существования и единственности решения
задачи Коши.
Если дифференциальное уравнение (9)
таково, что функция
в некоторой области
измерения свих аргументов непрерывна
и имеет непрерывные частные производные
,
то для любой точки
существует интервал
,
на котором существует и притом единственное
решение этого уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям (10).
1.2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающие понижение порядка.
I.
Уравнения вида
.
Общее
решение получается путём n-кратного
интегрирования
,
где
.
II.
Уравнения вида
,
не содержащие явно искомой функции
и её производных до порядка
включительно. С помощью замены
порядок уравнения понижается на k
единиц:
.
III.
Уравнения вида
,
не содержащие явно независимой переменной
.
Подстановкой
и т.д. порядок уравнения понижается на
единицу.
IV.
Уравнение вида
,
однородное относительно функции и её
производных, т.е. такое, что
.
Подстановкой
порядок уравнения понижается на единицу.