32) Численное интегрирование. Метод прямоугольников.

Рассмотрим сначала простейший метод, в котором подынтегральную функцию   на отрезке интегрирования   заменяют полиномом нулевой степени, т.е. константой:  . Подставляя   в формулу (1) и выполняя интегрирование получаем 

.                 

Таким образом, приближенное значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников, одна из сторон которых есть длина отрезка интегрирования  , а другая – аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов. Заметим, что замена подынтегральной функции константой неоднозначна, так как константу   можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования.

Выбирая константу   равную значению подынтегральной функции в левой (рис. 4.2 а) или правой (рис. 4.2 б) границах отрезка  в случае постоянного шага интегрирования  приходим к формулам левых и правых  прямоугольников, соответственно:

,                (2)

.                  (3)

 В формулах (2) и (3) введены обозначения  ,  , которыми мы будем пользоваться и в дальнейшем.

Наиболее широко на практике используется формула средних прямоугольников, в которой значение константы   (высота прямоугольника) выбирается равной значению подынтегральной функции в средней т очке  отрезка интегрирования (рис. 4.3):

 

В случае  постоянного шага интегрирования, когда  ,  формула средних прямоугольников будет иметь следующий вид

 

,     (3)

 

где     .

33) Численное интегрирование. Метод трапеций.

На частичном отрезке интегрирования   подынтегральная функция   заменяется интерполяционным полиномом первой степени, т.е. прямой, проходящей через точки   и   (рис. 4.4):

.

Поставляя это выражение в формулу (4.12) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам приходим к формуле трапеций:

.

(4)

 

Название метода связано с тем, что интеграл по отрезку   заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям функции   на краях отрезка, и высотой, равной   (рис. 4.4).

В случае постоянного шага интегрирования формула трапеций принимает вид:

 

.                         (5)

34) Численное интегрирование. Формула Симпсона.

Разобьем интервал интегрирования   на четное число n равных отрезков с шагами  . На каждом отрезке  , содержащем три узла, заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом второй степени, т.е. параболой

Интегрируя это выражение на отрезке   получим

.                                                   (6)

Приближенное значение интеграла на интервале   получим суммированием частичных интегралов (4.21) по всем отрезкам  :

.     (7)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

35) Задача Коши для дифференциального уравнения

Для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка задача

Коши состоит в следующем: найти решение уравнения

y'=f(x,y), (1)

удовлетворяющего начальному условию

y(x₀)=y₀ . (2)

Необходимо найти на отрезке [x₀,x_n] такую непрерывную функцию y = y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Нахождение такого решения называют решением задачи Коши