1. Линейная зависимость
Линейная зависимость имеет вид:
P1 |
(10) |
Система метода для расчета неизвестных коэффициентов a0 и a1 линейного аппроксимирующего полинома (10) по методу наименьших квадратов имеет вид.
Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты a0 и a1.
Выражения для искомых параметров также можно определить по формулам:
2.Степенная зависимость
Степенная зависимость имеет вид
График степенной зависимости приведен на рисунке 4.
Расчет параметров эмпирической формулы выполняется по формулам:
3 Показательная зависимость
Показательная зависимость имеет вид
.
Расчет параметров эмпирической формулы выполняется по формулам:
4. Гиперболическая зависимость
Приближающая функция имеет вид
Расчет параметров эмпирической формулы выполняется по формулам:
5. Логарифмическая функция
Будем искать приближающую функцию в виде
Расчет параметров эмпирической формулы выполняется по формулам:
30) Численное дифференцирование. Метод аппроксимации конечными разностями.
1. Аппроксимация производных конечными
разностями. Производной функции y=f(x)
называется предел:
(2.1)
Для приближенного вычисления производной
используется формула
,
(2.2)
где Dx - некоторое конечное число.
Разностные соотношения, в которых разность между любыми значениями аргумента является конечной величиной, называются конечными разностями. Поэтому соотношение (2.2) также называют аппроксимацией производной с помощью конечных разностей.
Пусть известны значения функции y0,y1,...,yi,...,yn, вычисленные или заданные таблицей в точках x0,x1,...,xi,...,xn. Точки x0,x1,...,xi,...,xn называются узлами, а разность между соседними значениями аргумента называется шагом hi=Dxi=xi-xi-1, i=1,...,n. Весь набор узлов называется сеткой. Если величина шага между узлами постоянна, то говорят, что узлы x0,x1,...,xi,...,xnобразуют равномерную сеткой с шагом h.
Для вычисления производной y¢i в точке
точки xi по формуле (2.2) можно
использовать левую разность:
(2.3)
правую разность:
(2.4)
центральную разность:
(2.5)
31) Численное дифференцирование с использованием формулы Лагранжа
Предположим, что некоторая функция
задана таблицей значений yi
= f(xi),
с постоянным шагом аргумента h
= xi
– xi-1
.
Для того, чтобы выразить значение
производной через значения функции в
узлах интерполяции, запишем интерполяционный
многочлен Лагранжа степени m,
удовлетворяющий условиям Lm(xk)
= yk = f(xk),
:
,
где лагранжевы коэффициенты вычисляются как
.
Дифференцируя этот многочлен, можно
получить приближенные значения
производных в узлах интерполирования
xk
.В
частности, для m = 1 получим:
численный дифференцирование производная интерполяционный
Пусть m = 2. Тогда
,
(5)
,
(6)
.
(7)
В целом для отрезка [x0, xn] рекомендуется вычислять производные следующим образом:
а) значение y(x0) - по формуле (5), где xi = x0;
б) значения y(xi)
-
по формуле (6), где xi+1
;
в) значение y(xn) - по формуле (7), где xi+2 = xn.