17) Метод Зейделя
Дана система линейных уравнений
,
(1)
где 
-квадратная
невырожденная матрица.
Представив A в виде суммы
двух матриц 
,
где 
;
,
запишем (1) в виде:
(1a)
Уравнение (1a) преобразуем в реккурентную формулу метода Зейделя:
,
k =
0,1,2,…
(2)
Вычитая из обеих частей (2) 
,
получим представление (2) в виде:
, k =
0,1,2,… (2a)
Обозначив 
, 
,
получим расчетные формулы метода
Зейделя в матричном виде:
; 
, 
0,
1, ... (3).
Из (2) можно получить расчетные формулы
для 
в
координатной форме:
, 
1,
..., n, 
0,
1, ... . (4)
Таким образом, метод Зейделя отличается
от метода Якоби тем, что, найдя 
,
его сразу используют для вычисления 
(по
начальным 
, 
,
..., 
находят 
,
затем, используя 
, 
,
...,
,
находят 
и
т.д.).
В качестве 
можно
взять любой, например, нулевой вектор.
Критерий остановки расчетов: 
.
Условием сходимости метода Зейделя
является
(5).
18) Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя методом исключения
Пусть дана матрица
Приведем матрицу к верхней треугольной. Вычтем из второй строки первую, умноженную на такое число, при котором первый элемент второй строки обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными строками. В результате все элементы первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя вторую строку, обратим в нуль соответствующие элементы второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу систему к верхней треугольной форме.
Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение к элементов из (k-1)-го столбца. Тогда останутся строки с ненулевыми элементами ниже главной диагонали.
Умножим k-ю строку на число
m
> k (3)
и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам
(
4)
k
< m(5)
Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-го столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется прямым ходом метода Гаусса.
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате выполнения прямого хода метода исключения система линейных уравнений приводится к верхней треугольной матрице. Следовательно, определитель матрицы системы может быть вычислен как произведение диагональных элементов:
(6)
19) Метод простых итераций для снлау
Запишем систему нелинейных уравнений в виде
(1)
или коротко в виде
,
где
.
Точное решение системы (1) обозначим
(2)
Для того, чтобы систему (1) решить методом простой итерации, во-первых, преобразуем её к виду
,
где
.
Функции, стоящие справа в (3) обладают
теми же свойствами, что и функции в
(1).Во-вторых, в области D
выберем любую точку
и назовём её нулевым приближением к
точному решению системы (3). В-третьих,
координаты точки
подставим
в правую часть системы (3) и вычислим
значения величин, стоящих слева в этой
системе.
или коротко
Величины
,
стоящие слева в формулах (4), будем считать
координатами точки
.
Эту точку назовём первым приближением
к точному решению исходной системы,
т.е. к
.
Теперь мы имеем два приближённых решения
системы (3). Этими решениями являются
и
.
В четвёртых, сравним эти два приближённых решения на :
Если все неравенства (5) выполняются, то за приближённое решение исходной системы можно выбрать как , так и , поскольку эти два решения отличаются друг от друга не больше чем на .
На этом решение исходной системы методом
простой итерации заканчивается. Если
же хотя бы одно из неравенств (5) не
выполняется, то надо компоненты первого
приближения подставить в правую часть
системы (3) и вычислить второе приближение
.
Здесь
Далее надо сравнить приближения
и
на
по
формуле (5). Строить приближения надо до
тех пор, пока два соседних приближения
и
будут отличаться друг от друга не больше
чем на
.
20) Метод Зейделя отличается от метода Якоби лишь тем, что на каждом шаге решения системы уравнений учитываешься предыдущий щаг, т.е. теперь эта система выглядит так:
В методе Якоби решать уравнения системы можно в любом порядке, а в методе Зейделя только сверху вниз.
Итерационный процесс поиска прекращается,
как только выполнится условие
Условием сходимости обоих методов будет являться нер-во
