12) Комбинированный метод

Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f”(x)<0. Условие начальной точки для метода касательных f(x)f”(x)>0.

Входные данные: f(x), f’(x), f”(x), a, b, ε.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0. Если f(x)=0, то x - точное решение.

13) Метод Гаусса

Дана система уравнений   (1). Будем считать, что матрица системы  А – неособенная. Требуется найти решение системы – вектор Х*.    Схема единственного деления

Для удобства вычислений используют расширенную матрицу ( ), (n+1)-й столбец которой –  столбец свободных членов системы - b:

.

 

Прямой ход.  На каждом из шагов с номерами k = 1, …, n-1 выбираем ведущую строку с номером  k  и ведущий элемент . Далее выполняем следующие операции.

            1). Все элементы ведущей строки расширенной матрицы  делим на   :

       .                                                       (2)

    2). Из всех строк расширенной матрицы с номерами i > k вычитаем ведущую строку, умноженную на элемент  , получая нули под ведущим элементом: 

.                                         (3)

  3). Увеличиваем  номер  ведущей  строки:     k = k +1   и, если k < n, повторяем 1), 2).  Если   k = n, то прямой ход закончен.

Обратный ход.  По формулам

                           (4)

находим решение системы    ^T .

14) Метод Жордана-Гаусса

Этот метод, как и метод Гаусса, является методом исключения, предназначенным для системы линейных уравнений   ( матрица  А – невырожденная).    Отличие от схем метода   Гаусса в том, что путем преобразований матрица   А   приводится не к треугольному, а к диагональному виду. В результате исходная система линейных уравнений  приобретает вид:

Обратный ход в схемах Жордана становится формальностью. Как и в схемах Гаусса, здесь удобно использовать расширенную матрицу системы  . Классическая схема  Жордана реализуется за n шагов. Описание  k-го шага  (k =1,2...n). 1). Делим k- ю строку расширенной матрицы    на элемент  :

j = 1, 2, ...,n + 1.                   

2). Из строк с номерами     вычитаем  k-ю строку, умноженную на числовой коэффициент   так, чтобы в  k-ом  столбце расширенной матрицы  получить нули над и под элементом  :

                                 ж      j = 1, 2, ...,n + 1.        

Если элементы главной диагонали матрицы   в процессе работы метода оказываются равными   или близкими к нулю, то можно использовать модификации метода с перестановкой строк или столбцов, аналогичные соответствующим модификациям метода Гаусса

15) Метод Якоби

Метод простой итерации ( метод Якоби)

Пусть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) задана в виде

Предположим, что диагональные элементы исходной системы не равны нулю (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему:

(6)

В системе (6) -ое уравнение представляет собой -ое уравнение системы (6), разрешённое относительно –ой неизвестной ( ).

Теперь, задав нулевое приближение  , по соотношениям (5) можем выполнять итерационный процесс. Таким образом, рабочие формулы метода простой итерации решения системы (5) будут иметь вид

Формулы (2.3) можно записать в виде

Условие окончания итерационного процесса 

, .

Достаточное условие сходимости. Если выполнено условие диагонального преобладания, то есть

то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

16) см.15