Целочисленная арифметика
Аксиома Пеано для натуральных чисел
1. 1 является натуральным числом
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны
5. Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Целое число – это число, которое не имеет дробной части.
Система исчисления - символический метод записи чисел.
Тип данных – множество значение и операций на этих значениях.
Целочисленные- short, long, bool, int
Целочисленное переполнение – эта штука возникает при записи числа, тип данных которого не может содержать это числа.
Операции над целыми числами – сложение, вычитание, умножение, деление.
Сравнение по модулю натурального числа m показывает, что два выбранных целых числа при делении на m дают один и тот же остаток
Побитовая конъюнкция – это логическое умножение ( союз и)
Побитовая дизъюнкция – это логическое сложение (союз или)
Сложение по модулю 2 –это соединение двух простых высказываний в одно составное, также называется исключающим или.
Битовый сдвиг - это сдвиг массива чисел влево или в право, обнуление идет в противоположной стороне, все, что вылезает за границы, отбрасывается.
Числа с плавающей запятой
Вещественные числа – это числа, которые имею дробную часть.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНОЙ С.С
Целое
число
можно
представить в виде
Аналогично можно записать двоичную дробь:
Заметим,
что сдвиг двоичной точки на n разрядов
вправо (чаще говорят о сдвиге самого
числа влево) эквивалентен умножению
числа на
.
Сдвиг точки влево (то есть сдвиг самого
числа вправо) – делению на
.
Представление вещественных чисел в двоичной системе счисления в программировании – вещественное число записывается, используя мантиссу, прядок, знак, основание
Экспоненциальная запись — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна при представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания
N=M* n^p, где
N — записываемое число;
M — мантисса;
n — основание показательной функции;
p (целое) — порядок;
n^p — характеристика числа.
Отрицательный 0 – это такая запись числа, когда в мантиссе и порядке записаны нули, а знак может принимать значение 0 или 1.
float – занимает 4 байта в памяти
double - 8 байт (хранит примерно 15 знаков вещественной точности)
long double – 10 бат (примерно 19 знаков)
Для работы с вещественными числами необходимо подключить библиотеку, <math.h>.
Литералы с плавающей точкой – это константа записанная в исходном коде компьютерное программе.
Операция сложения двоичных чисел с плавающей запятой реализуется последовательностью этапов:
1) сравнение порядков;
2) выравнивание (уравнивание) порядков;
3) сложение мантисс;
4) нормализация результата.
Обязательными из этих этапов являются 1-й и 3-й, а 2-й и 4-й этапы могут быть опущены.
Операция вычитания сводится к сложению путем предварительного изменения знака второго операнда на противоположный.
Модуль с мат. Функциями
<MATH.H>
ABS(X) – модуль от Х (|X|). SQR(X) – возведение Х в квадрат. SQRT(X) – корень от Х. Sin, Cos или Arctg(X) — Х должен быть выражен в радианах (X=градусы*П/180). Sin X, Cos X, Arctg X. Exp(X) – экспонента в степени Х. Log(X) – десятичный логарифм в степени Х. Ln(X) – натуральный логарифм в степени Х. Exp(A*Ln(X)) – Х в степени А. Random(X) — случайное число X от 0 до X, где X целое и оно находится в диапазоне X<65536. Round(X) – округлённое вещественное число X в целое. Int(X) — целая часть числа X. Frac(X) — дробная часть числа Х. ODD(X) — ODD = True, если Х не чётное. PRED(X) — предыдущее значение Х. SUCC(X) — последующее значение Х.
Бесконечность и не число
Бесконечность записывается стаким образом, в порядок записаны 1, а в мантиссе все 0, знак может быть любым
Не число – неопределенность, записывается как ненулевая мантисса, а порядок все 1.
Операции над числами над числами с плавающей запятой – умножение, вычитание, деление, сложение. При умножении сначала умножаются мантиссы и складываются порядки, при делении наоборот.
При сложении числа приводятся к одному порядку, складываются или вычитаются мантиссы.
Переполнение чисел с плавающей запятой
Погрешность вычислений чисел с плавающей запятой – если представить какое-то число как двоичную дробь оно окажется периодическим. Если переводить его в нормальную дробь, то ы получаем немного другое число. Чтобы получить исходное число, полученное надо округлить.
Сравнение чисел с плавающей запятой реализуется также, как и с целыми числами, только проблемы могут возникать при сравнении двух чисел, даже если их округленные числа равны. Это происходит из-за того, что число с бесконечным количеством символов не может быть записано в компьютеры, поэтому он их округляет. Но при сравнении используются не округленные числа, поэтому возникают проблемы.
Машинный эпсилон это наибольшее число с плавающей точкой для данного типа, при прибавлении к 1, число не меняется