23 ) Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей. Углом между двумя плоскостями называют угол между их нормальными векторами. Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК) заданы две плоскости своими уравнениями. α: A1x+B1y+C1z+D1=0, β: A2x+B2y+C2z+D2=0. Нормальные векторы этих плоскостей относительно ПДСК имеют следующие координаты: n1={A1, B1, C1}, n2={A2, B2, C2}. cos(α,^β)=n1•n2/|n1|•|n2|=(A1A2+B1B2+C1C2)/( √(A12+B12+C12)•√(A22+B22+C22) ). Из данной формулы следует справедливость двух утверждений: 1) Плоскости α и β, заданные своими общими уравнениями относительно ПДСК перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2+B1B2+C1C2=0. 2) α || β <=> A1/A2=B1/B2=C1/C2

24 ) Уравнение плоскости ,проходящей через три заданные точки.

Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки  .

Известно, что общее уравнение плоскости вида  задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость  , которая проходит через точку  , а нормальный вектор плоскости   имеет координаты  . Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки  .

Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора   этой плоскости.

Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор   перпендикулярен как вектору  , так и вектору  . Следовательно, в качестве вектора   можно принять векторное произведение векторов   и  . Так как   и   (при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то  . После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора  , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки  .

Очевидно, что множество точек   определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки  , тогда и только тогда, когда три вектора   и   компланарны.

Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов   и  , то есть, смешанное произведение векторов   должно быть равно нулю:  . Это равенство в координатной форме имеет вид  . Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  .

Далее, от полученного общего уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, Вы при необходимости можете перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости.

Осталось рассмотреть решения примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки.