Некоторые важные неравенства

Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического:

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К А Я П Р О Г Р Е С С И Я

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел , в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Это число d называется разностью арифметической прогрессии.

При d>0 прогрессия является возрастающей.

Пример: . Назвать первые пять членов: 2, 5, 8, 11, 14.

При d<0 прогрессия является убывающей.

Пример: . Назвать первые пять членов прогрессии: 12, 9, 6, 3, 0.

Задача. Дана арифметическая прогрессия -2; 1; … Найдите разность между ее двенадцатым и шестым членами.

Решение.

Ответ. 16.

Формула n- го члена арифметической прогрессии:

Задача. В арифметической прогрессии известно, с₂=-2, d=3. Найдите с₁ и сумму первых пяти членов.

Решение. c₂=c₁+d

c₁=c₂-d=-2-3=-5;c₁=-5

c₅=c₁+d(5-1)=-5+ =7;

S₅ =

Ответ.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

1, 2, 3, 4, 5, … - арифметическая прогрессия с d=1.

это натуральный ряд чисел

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К А Я П Р О Г Р Е С С И Я

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел , в которой каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же неизменное число, не равное нулю. Это неизменное число q называется знаменателем прогрессии.

При прогрессия называется убывающей.

Пример. . Назвать первые пять членов геометрической прогрессии: 24; 12; 6; 3; 1,5.

При прогрессия называется возрастающей.

Пример.

Назвать первые пять членов геометрической прогрессии:

1, 2, 4, 8, 16.

Задача. Дана геометрическая прогрессия -2; 1; … Найдите частное от деления ее двенадцатого члена на шестой.

Ответ. 64.

Формула n- го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Задача. Дана геометрическая прогрессия . Найдите сумму первых десяти членов:

Ответ. 5115.

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

ЗЗ

Ф

Л О Г А Р И Ф М Ы И ИХ С В О Й С Т В А

Логарифмом положительного числа b по основанию , где называется показатель степени , в которую нужно возвести число , чтобы получить b.

Обозначение:

Запись равносильна , где .

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов

1.

2.

3.

Формула перехода к новому основанию:

,

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут вместо

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию и пишут вместо