4.Пирамида и сфера.
Определение 3.4.1. Пирамида (усеченная пирамида) называется описанной около сферы, если сфера касается всех граней пирамиды.
Определение 3.4.2.
Если пирамида (усеченная пирамида) описана около сферы, то сфера называется вписанной в пирамиду (усеченную пирамиду).
|
Центр вписанной в пирамиду сферы – это точка, равноудаленная от всех граней пирамиды.
Рассмотрим треугольную пирамиду SABC. Центр сферы, вписанной в данную пирамиду – есть точка, равноудаленная от всех граней пирамиды. Центр вписанной сферы лежит в точке пересечения биссекторов двугранных углов пирамиды. Для построения центра сферы достаточно провести три биссектора. Это будут биссекторы двугранных углов при двух боковых ребрах, например AS и CS, и при одном из ребер основания пирамиды. Первые две пересекаются по прямой – геометрическое место точек, равноудаленных от боковых граней пирамиды. Пересечение этой прямой с третьим биссектором даст исходную точку О*.
Таким образом, в любой тетраэдр можно вписать сферу. Это возможно и в том случае, если пирамида правильная и в основание которой можно вписать окружность.
Для сферы, вписанной в усеченную пирамиду, рассуждения о нахождении ее центра аналогичны таковым для полной пирамиды. Только следует добавить, что высота пирамиды, должна быть равна диаметру вписанной сферы, так как последняя касается оснований усеченной пирамиды.
4.Комбинации цилиндров, конусов, многогранников
1.Цилиндр и конус.
Определение 4.1.1.
Цилиндр (усеченный конус) называется вписанным в конус, а конус – описанным около цилиндра (усеченного конуса), если одно основание цилиндра (усеченного конуса) является сечением конуса, параллельным его основанию, а второе основание цилиндра (усеченного конуса) лежит на основании конуса (причем основание усеченного конуса меньше основания конуса.
|
|
Определение 4.1.2.
Конус называется вписанным в цилиндр (в усеченный конус), а цилиндр (усеченный) - описанным около конуса, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра (усеченного конуса), а вершина конуса лежит в центре основания цилиндра (усеченного конуса).
|
|
Определение 4.1.3.
Цилиндр называется вписанным в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около цилиндра, если одно основание цилиндра совпадает с меньшим основанием усеченного конуса, а второе основание цилиндра лежит на большем основании усеченного конуса.
Определение 4.1.4.
Усеченный конус называется вписанным в цилиндр, а цилиндр - описанным около усеченного конуса, если большее основание усеченного конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а меньшее основание конуса лежит на втором основании цилиндра .
|
|
Определение 4.1.5.
Конус называется вписанным во второй конус, а второй конус описанным около первого, если основание первого конуса является сечением второго, параллельным его основанию, а вершина первого конуса совпадает с центром основания второго.
|
Отметим основные факты при перечисленных комбинациях тел вращения:
- оси тел вращения лежат на одной прямой;
- во всякий конус можно вписать бесконечное множество различных
цилиндров (усеченных конусов);
- в цилиндр (усеченный конус) можно вписать только один цилиндр;
- в усеченный конус можно вписать бесконечное множество других
усеченных конусов;
- в цилиндр можно вписать бесконечное множество усеченных
конусов;
- в конус можно вписать сколь угодно других конусов.
Возможны иные комбинации перечисленных выше круговых тел. Например, цилиндр может быть вписанным в конус так, что он боковой поверхностью касается основания конуса, а каждая из окружностей оснований цилиндра касается кроме основания конуса его боковой поверхности в одной или двух точках и т.д.