4.Пирамида и сфера.

Определение 2.4.1. Пирамида (усеченная пирамида) называется вписанной в сферу, если все ее вершины лежат на поверхности сферы.

Определение 2.4.2.

Если пирамида (усеченная пирамида) вписана в сферу, то сфера называется описанной около пирамида (усеченная пирамида).

Центр О’ описанной около пирамиды сферы – точка, равноудаленная от вершин пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SАВС.

Геометрическое место точек в пространстве равноудаленных от трех данных, есть прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей, проходящих через середины отрезков, образованных данными точками, перпендикулярно им. Другими словами, это перпендикуляр, восстановленный к плоскости треугольника, образованного данными точками, в центре описанной около него окружности. В данном случае прямая ОК – это геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А, В и С. Чтобы найти на этой прямой точку, равноудаленную от вершин S и С (а значит, и от А и В), проведем через середину SС перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОК в некоторой точке О’. Эта точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды и является центром описанной около этой пирамиды сферы. Следовательно, описать сферу можно около любой пирамиды в основании которой правильный многоугольник. Это возможно и в том случае, когда в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, если он вписывается в окружность.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА1В1С1, высота ОО1 которой соединяет центры верхнего и нижнего оснований, являющихся правильными треугольниками.

Центр описанной сферы - это точка равноудаленная от всех вершин многогранника. Эта точка находится на прямой ОО1, являющейся геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А, В, С и от вершин А1, В1, С1 (О и О1 – центры описанных окружностей около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно). Проведем через середину бокового ребра, например, АА1 перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОО1 в некоторой точке S. Из треугольника АА1S видно, что точка S равноудалена от вершин А (а значит, и от В1 и С1). Таким образом, мы определим центр описанной сферы: это точка S.

Если бы усеченная пирамида была образована от пирамиды, у которой вершина проектируется не в центр основания, то такой точки S бы не существовало, то есть описать сферу было бы невозможно ( ведь геометрические места точек в пространстве, равноудаленных от вершин нижнего основания и от вершин верхнего основания усеченной пирамиды, не пересекались бы).

Если в основании прямой усеченной пирамиды будут лежать произвольные выпуклые многоугольники, которые можно будет вписывать в окружность, то такую усеченную пирамиду можно будет вписать в сферу.

3.Тела, описанные около сферы.

1.Цилиндр и сфера.

Определение 3.1.1.

Цилиндр называется описанным около сферы, если сфера касается всех образующих и обоих оснований цилиндра.

Определение 3.1.2.

Если цилиндр описан около сферы, то сфера называется вписанной в цилиндр.

Центр О вписанной в цилиндр сферы – это точка, равноудаленная от боковой поверхности и оснований цилиндра.

Множество точек, равноудаленных от боковой поверхности цилиндра – ось цилиндра(О1О2). Следовательно, центр сферы, вписанной в цилиндр, принадлежит оси цилиндра.

Очевидно, что середина оси О1О2 – центр сферы, вписанной в цилиндр.

Описанный цилиндр касается боковой поверхностью окружности экватора сферы, а основаниями – его полюсов. Значит, для того, чтобы цилиндр описать около сферы необходимо и достаточно, чтобы его высота была равна оси шара. Центр шара будет находится в середине оси цилиндра.

В случае, когда цилиндр описан около сферы, его осевое сечение – квадрат.

Центры вписанной и описанной около цилиндра сфер совпадают.