2.Тела, вписанные в сферу.

1.Цилиндр и сфера.

Определение 2.1.1.

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра принадлежат сфере.

Определение 2.1.2.

Если цилиндр вписан в сферу, то сфера называется описанной около цилиндра.

Центр О описанной сферы – это точка, равноудаленная от всех точек окружностей оснований цилиндра.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от точек окружности верхнего основания, есть прямая, содержащая ось цилиндра; она же является геометрическим местом точек, равноудаленных от точек окружности нижнего основания. Очевидно, что точка, равноудаленная от точек окружностей оснований, есть середина оси цилиндра. Она является центром описанной сферы.

Около всякого цилиндра можно описать сферу.

2.Конус и сфера.

Определение 2.2.1.

Конус (усеченный конус) называется вписанным в сферу, если окружность основания конуса и вершина конуса ( окружности оснований усеченного конуса) принадлежат сфере.

Определение 2.2.2.

Если конус (усеченный конус) вписан в сферу, то сфера называется описанной около конуса.

Центр S описанной около конуса сферы – это точка, равноудаленная от вершины конуса и точек окружности основания.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от точек окружности основания, - прямая, содержащая ось конуса (АО). Чтобы найти на этой прямой точку, равноудаленную от вершины А и точки С (а значит, и от каждой точки окружности), проведем через середину АС перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОА в некоторой точке S. Эта точка , равноудаленная от всех точек основания и вершины конуса, и является центром описанной около этого конуса сферы радиусом SA.

Таким образом, S – центр описанной около конуса сферы.

Около всякого конуса можно описать сферу.

Если конус усеченный, то центр О описанной сферы – это точка, равноудаленная от всех точек окружностей верхнего и нижнего оснований.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек окружности верхнего и нижнего оснований, совпадают – это прямая, содержащая ось KL.

Чтобы найти на ней центр описанной сферы, рассмотрим осевое сечение АА1В1В и проведем серединный перпендикуляр к отрезку АА1. Он пересечет прямую KL в некоторой точке О, которая будет равноудалена от точек А и А1, а значит, и от всех точек окружности верхнего и нижнего оснований.

Около всякого усеченного конуса (прямого кругового) можно описать сферу.

3.Призма и сфера.

Определение 2.3.1.

Призма называется вписанной в сферу, если все ее вершины лежат на поверхности сферы.

Определение 2.3.2.

Если призма вписана в сферу, то сфера называется описанной около призмы.

Центр О* описанной около призмы сферы - это точка, равноудаленная от всех вершин призмы.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1. Если О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, а О1- около треугольника А1В1С1, то прямая ОО1 (она перпендикулярна плоскостям основания) является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А, В, С; она же является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А1,В1,С1. Осталось найти на этой прямой точку, равноудаленную от всех вершин призмы. Очевидно, что это середина отрезка ОО1- точка О*: АО*=ВО*=СО*=А1О*=В1О*=С1О*. Таким образом, точка О*- центр описанной около призмы АВСА1В1С1 сферы.

Около любой правильной призмы всегда можно описать сферу.

Следует отметить, что описать сферу можно также около прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник, если около него можно описать окружность.

Наклонную призму в сферу нельзя вписать, так как не существует точки, равноудаленной от всех ее вершин. Рассмотрим наклонную призму, в основании которой квадрат.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от вершин А,В,С и D - перпендикуляр ОХ к плоскости основания, от вершин А1, В1, С1, D1- перпендикуляр О1Y (О, О1 центры окружностей, описанных около квадратов АВСD и А1В1С1D1 соответственно). Так как основания призмы параллельны, то параллельны и перпендикуляры к ним, то есть ОХ׀׀О1Y, а следовательно не существует точки, равноудаленной от всех вершин наклонной призмы (чтобы она существовала, прямые ОХ и О1Y должны пересекаться).