4. Моделювання монотонних процесів. Різні критерії вибору функції регресії.

При моделюванні монотонних процесів (зростаючих або спадних), коли число спостережень n невелике, може бути використана одна з таких регресійних функцій, що залежать від двох параметрів:

1. 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9)

Ці залежності примітні тим, що якщо табличні значення задовольняють одне із цих рівнянь, то й середні значення та також його задовольняють. При цьому в ролі та може бути середнє арифметичне, геометричне й гармонічне:

Для вибору вигляду функції регресії обчислюють для у такий спосіб: = , якщо збігається з одним із вузлів xi. Якщо , то . Як критерій вибору кращої функціональної залежності використовують . Після того, як обрано вигляд функції, модель перетворюють до лінійного вигляду, якщо це необхідно.

Критерії вибору функції регресії. Критерій Фішера для регресійної моделі відображає, наскільки добре ця модель пояснює загальну дисперсію залежною змінною. Розрахунок критерію виконується з рівняння: , де R - коефіцієнт кореляції;        f1 і f2 - число ступенів свободи.

Перший дріб в рівнянні дорівнює відношенню пояснене дисперсії до непоясненної. Кожна з цих дисперсій ділиться на свою ступінь свободи (друга дріб у вираженні). Число ступенів свободи пояснене дисперсії f1 дорівнює кількості пояснюють змінних (наприклад, для лінійної моделі виду Y = A * X + B отримуємо f1 = 1). Число ступенів свободи непоясненної дисперсії f2 = Nk-1, де N-кількість експериментальних точок, k-кількість пояснюють змінних (наприклад, для моделі Y = A * X + B підставляємо k = 1). Для перевірки значимості рівняння регресії обчислене значення критерію Фішера порівнюють з табличним, узятим для числа ступенів свободи f1 (бóльшая дисперсія) і f2 (менша дисперсія) на обраному рівні значущості (зазвичай 0.05).

5.Рангова кореляція

Рангова кореляція - метод кореляційного аналізу, що відображає відносини змінних, впорядкованих за зростанням їх значення. Рангова кореляція застосовується для аналізу зв'язку між ознаками, вимірюваними в порядкових шкалах, як метод визначення кореляції якісних ознак. Перевагою коефіцієнтів рангової кореляції є можливість їх використання незалежно від характеру розподілу корелюють ознак.

У практиці застосовуються коефіцієнти рангової кореляції Спірмена і Кендалла. Першим етапом розрахунку коефіцієнтів рангової кореляції є ранжування рядів змінних. Процедура ранжирування починається з розташування змінних за зростанням їх значень. Різним значенням присвоюються ранги, що позначаються натуральними числами. Якщо зустрічаються кілька рівних за значенням змінних, їм присвоюється усереднений ранг.

Таблиця 1

Ранжування розподілу показників тесту (n = 18)

У таблиці 1 наведені дані для розрахунку коефіцієнтів рангової кореляції. У другій графі представлені ранжирування показники за першою з порівнюваних розподілів (оцінка IQ, в третій графі - відповідні їм дані тесту зорової пам'яті).

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена (rs)

визначається з рівняння:

де di - різниці між рангами кожної змінної з пар значень X і Y;

n - число зіставляються пар.

Отримуємо:

6.Сутність фіктивних змінних. У регресійних моделях у якості пояснюючих змінних часто доводиться використовувати не тільки кількісні (обумовлені чисельно), але і якісні змінні. Наприклад, попит на деяке благо може визначатися ціною даного блага, ціною на замінники даного блага, доходом споживачів тощо (ці показники визначаються кількісно). Але попит може також залежати від смаків споживачів, їхніх вподобань, національних і релігійних особливостей. А ці показники представити в чисельному виді не можна. Виникає проблема відображення в моделі впливу таких змінних на досліджувану величину.

Зазвичай в моделях вплив якісного фактору виражається у вигляді фіктивної змінної, яка відображає два протилежні стани якісного фактору. Наприклад, «фактор діє» - «фактор не діє», «курс валюти фіксований» - «курс валюти плаваючий», «сезон літній» - «сезон зимовий» тощо. У цьому випадку фіктивна змінна D може виражатися у двійковій формі: D =0, фактор не діє, D = 1, фактор діє. Наприклад, D = 0, якщо споживач не має вищої освіти, D = 1, якщо споживач має вищу освіти. Таким чином, крім моделей, що містять тільки кількісні пояснюючі змінні (позначені Xj), у регресійному аналізі розглядаються також моделі, що містять лише якісні змінні (позначені Dj) або ті й інші одночасно.

Варто відзначити, що з допомогою фіктивних змінних можна описати особливості сезонного виробництва і споживання продукції, а також регіональні (просторові) особливості соціально-економічних процесів. Розмаїття видів багатофакторних регресійних моделей з фіктивними змінними зумовлюється структурою факторних (кількісних і/або якісних змінних) та результативних (кількісних або якісних змінних) ознак. Багатофакторна регресія може містити лише якісні зміні двох класів, тобто dummy-змінні, або змішану сукупність якісних і кількісних факторних ознак. У першому випадку отримаємо AOV-модель, у другому – ACOV-модель. Окрему групу становлять моделі із фіктивною залежною змінною – лінійні ймовірнісні моделі (LPM - моделі) та логістичні моделі з фіктивною змінною (Logist - моделі).

До регресійної моделі може входити одна або декілька фіктивних змінних у поєднанні з кількісними факторними ознаками або без их. При цьому якісні змінні можуть набувати значень двох або більше класів. Найпростішою моделлю є AOV-модель з однією фіктивною змінною (dummy-змінною), з допомогою якої описують якісні факторні ознаки, які набувають значень двох класів (категорій): , де - залежна змінна; - dummy- змінна ( ); - випадкова величина; - параметри регресії.