Методические указания

В широком смысле слова оптимальный – значит, наилучший в смысле принятого критерия эффективности (критерия оптимальности). Примерами таких критериев могут выступать качество процессов управления, надежность системы, энергопотребление, стоимость и т.п. В любом случае цель управления можно рассматривать как достижение экстремума некоторой величины – критерия оптимальности. В зависимости от требований в системе необходим либо минимум, либо максимум величины J, которая является функционалом, то есть числом, зависящим от вида функции. Возможны различные классификации по типам критериев оптимальности.

Формирование критерия оптимальности, определяющего цель оптимизации, – серьезная инженерная задача, которая решается на основе всестороннего изучения объекта управления.

Задача об оптимальном управлении ставится следующим образом: определить управляющие воздействия (оптимальные), переводящие объект из одного заданного состояния в другое и доставляющие экстремум некоторому функционалу. Обычно эта задача осложняется наличием ограничений на управления и координаты, выражающие ограниченные ресурсы управления и допустимые пределы изменения ординат. Считается, что в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации в пространстве управляющих переменных задано некоторое множество U, и управления могут принимать в каждый момент времени лишь значения из этого множества, которое называется множеством допустимых управлений.

Основной задачей данной темы является изучение методов классического вариационного исчисления, которое занимается отысканием экстремумов функционалов, выраженных, как правило, в виде определенных интегралов. Изучение этого раздела необходимо начинать с основной (простейшей) задачи вариационного исчисления, уяснить ее постановку, рассмотреть геометрическую интерпретацию. Затем ознакомиться с методом получения уравнения Эйлера, выражающего необходимое условие экстремума функционала. Наконец, провести подробный анализ уравнения Эйлера, уяснив, что это уравнение в общем случае является обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка. Необходимо изучить уравнения Эйлера-Пуассона. Обобщением основной вариационной задачи является ее многомерный вариант.

На практике, как правило, встречаются задачи на отыскание экстремума функционала при дополнительных условиях, налагаемых на функции, в классе которых ищется экстремум, – это задачи на условный экстремум. В качестве дополнительных условий могут выступать уравнения движения объекта управления. Метод решения этой задачи основан на введении вспомогательной функции (функции Лагранжа) и отыскании обычными методами экстремума функционала, в котором присутствует эта вспомогательная функция. К обобщенной задаче Лагранжа сводятся практически все частные задачи вариационного исчисления. Необходимо ознакомиться с постановкой задачи Майера и Больца и методами сведения их к задаче Лагранжа и друг к другу.

Обратить внимание на различия в дополнительных условиях (ограничения) вариационных задач на условный экстремум, их физический смысл и особенности в применении метода переменных Лагранжа. Это удобно сделать на примерах конкретных задач об оптимальном управлении двигателем и линейным многомерным объектом.

Нужно понять физический смысл подвижных границ в вариационных задачах, рассмотреть условие трансверсальности и его применение при решении конкретных задач.

Многие реальные системы управления являются дискретными и описываются разностными уравнениями, поэтому следует уяснить постановку вариационных задач в этом случае и изучить необходимые условия экстремума (уравнения Эйлера и Эйлера-Лагранжа).

При изучении метода динамического программирования нужно усвоить принцип оптимальности Р. Беллмана, рассмотреть функциональное уравнение метода динамического программирования и его вид при решении задач оптимального управления линейными системами.

Рассмотрев основные соотношения принципа максимума, нужно понять его применение при решении конкретных задач управления.

При изучении метода АКОР нужно четко усвоить процедуру этого метода, основанную на решении уравнения Риккати, и область его применения.

Повторив сформулированные в дисциплине «Теория автоматического управления» критерии оценки качества и точности переходных процессов, следует ознакомиться с методом решения задач оптимального управления, обеспечивающим эти заданные требования.

Подводя итоги изучения данного раздела, следует рассмотреть проектирование оптимальных законов управления конкретными физическими объектами, закрепив затем полученные навыки при выполнении контрольной и курсовой работ.