7.3 Вторая каноническая схема Кауэра.

Другой вид непрерывной дроби можно получить, если на каждом этапе разложения стремиться выделить не полюс в бесконечно удаленной точке, а полюс в точке р=0. При подобном подходе заданная функция f(p) записывается в виде

(49)

Будем считать, что функция f(p), записанная в виде (49), должна быть реализована в виде входного сопротивления Z(р). Сравним выражения (42) и (49). Из сравнения имеем

(50)

Лестничная схема, реализующая в данном случае f (p) в виде входного сопротивления, должна, очевидно, содержать емкости в последовательных ветвях и индуктивности в параллельных ветвях (рис 13а). Схема рис 13а называется второй канонической схемой Кауэра

Рис.13.

а ее элементы при этом должны определятся соотношением

(51)

Как и в предыдущем случае не все элементы этой схемы являются обязательными. Если функция f(p) имеет при р=0 не полюс, а нуль, то в схеме рис 13а, должна отсутствовать емкость . Индуктивностьдолжна присутствовать или заменяться коротким замыканием в соответствии с тем , является ли бесконечно удаленная точка полюсом или нулем функцииf(p).

Рассмотрим пример. Требуется реализовать в виде входного сопротивления двух полосной цепи функцию

Воспользуемся при решении такой задачи второй схемой Кауэра. Точка р=0 является нулем функции f(p), а не полюсом. Поэтому, начиная построение непрерывной дроби вида (46), следует прежде всего перейти от функцииf(p) к обратной величине **** в порядке возрастания степеней переменной и разделить их друг на друга

,

где ;;*;;- нормированные параметры цепи, так как функцияf(p)соответствует входному сопротивлениюZ(p) схемы, изображенной на рис.13б. При этом величины емкостей и индуктивностей должны иметь следующие значения:,. Еслиf(p)=Y(p), то при разложении в непрерывную дробь в форме (39) получится первая схема Кауэра, если же использовать разложение вида (46), то результатом будет вторая схема Кауэра.

Важным свойством рассмотренных канонических схем Фостера и Кауэра является то, что число элементов, необходимых для их построения, оказывается минимально возможным и равным наибольшему из чисел п и т , где п и т - степени полиномов А(р) и В(р).

§8 Синтез двухполюсников с потерями (Метод Кауэра)

В общем случае целесообразно выделять каждый раз слагаемые более общего вида, а именно

реализуемые в виде схемы рис. 14а (в случае f(p)=Z(p)), или рис. 14б (при f(p)=Y(p)) , где, конечно, некоторые из величин могут оказаться равными нулю.

При этом каждый участок получаемой цепной схемы может содержать R, L, и C. Иногда бывает так, что сразу не ясно, какие именно из слагаемых ,следует выделить. Может случиться так, что при неудачном выборе этих величин функция* окажется физически нереализуемой. Поэтому на каждом этапе разложения зданной функции в непрерывную дробь целесообразно проверять, является ли остающая величина ПВФ. Рассмотрим пример [6]. Реализовать функцию

; (52)

у которой степени полиномов А(р) и В(р) одинаковы, и и попытаемся синтезировать двухполюсник, реализующий ее в виде входного сопротивления Z(p).

Целая часть неправильной дроби (49) не зависит от р и равна еденице. Нули знаменателя простые, и равны соответственно . Если выделить целую часть дроби (величина, не зависящая отр, соответствует активному сопротивлению R), с тем, чтобы далее разложить полученную правильную дробь на простейшие. То эта дробь окажется функцией нереализуемой. В самом деле

(53)

т.е. второе слагаемое хотя и является правильной дробью, но не является ПВФ. Такой же результат получается, если выделять целую часть функции, обратной f(p).

Разложим в непрерывную дробь обратную величину

, (54)

причем при делении полиномов друг на друга их следует расположить в порядке возрастания степеней р. Запишем операцию деления с остатком

Если продолжить деление дальше, то следующий остаток снова приведет к нереализуемой функции. На данном этапе имеем

(56)

Первые два слагаемых знаменателя имеют смысл проводимостей одноэлементных двухполюсников, состоящих, соответственно только из и, а вся формула (53) соответствует схеме рис. 15а, где использовано обозначение

(57)

Переходим к величине, обратной , и продолжаем разложение в непрерывную дробь, для чего полиномделим на

В результате получаем

(59)

Таким образом, окончательно имеем

(60)

Полученная непрерывная дробь соответствует схеме рис. 15б, где

,

a если задаться

Рис.15

Следует иметь ввиду, что отмеченные выше простейшие способы построения цепи с потерями по заданной входной функции далеко не всегда приводит к цепи. В таких случаях целесообразно прибегать к более общим методам реализации ПВФ в виде входных функций пассивных линейных цепей.

Сведения об этих общих методах можно найти, например, в работе [5].