Теория ЭСОЭ / Реактивные двухполюсники

РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ.

Наиболее простой электрической цепью является двухполюсник – любой сложности схема, имеющая два зажима (входной, выходной).

Двухполюсники могут быть различными:

• линейные, нелинейные;

• активные, пассивные;

• реактивные, с потерями и т.п. (зависит от характеристик элементов в схеме).

Мы рассмотри линейные, пассивные, чисто реактивные (имеются катушки L_i и емкости C_i) двухполюсники.

В виду того, что соотношения между мгновенными токами i(f) и напряжениями U(f) описываются интегрально-дифференциальными выражениями по 1 и 2 законам Кирхгофа, воспользуемся их изображениями по преобразованию Лапласа или их аналогами для частных случаев.

комплексная частота;

операторное индуктивное сопротивление;

операторное емкостное сопротивление;

операторное реактивное сопротивление и проводимость.

При гармоническом (синусоидальном, периодическом) воздействии .

Зависимости от частоты.

Z(), Y() – амплитудочастотная характеристика;

() – фазочастотная характеристика.

Рассмотрим несколько простейших схем реактивных двухполюсников:

Сделав анализ рассмотренных схем, можно видеть:

• число резонансов на единицу меньше числа элементов;

• АЧХ определяется чередованием нулей (резонанс токов) и полюсов (резонанс токов); если в схеме есть путь для постоянного тока, то первым конкретным резонансом будет резонанс токов;

• крутизна АЧХ Z(ш), Y(ш) всегда положительна или (теорема Фостера);

• - всегда отношение двух полиномов ω, степени которых отличаются на 1;

• у некоторых схем АЧХ выглядят одинаково (Z₃ и Z₅), (Z₄ и Z₆), у некоторых обратно (Z₃ и Z₆, Z₅ и Z₆).

Два двухполюсника называются обратными, если произведение их сопротивлений величина вещественная и положительная, а амплитудо-частотные характеристики выглядят взаимообратно (меняются местами нули и полюса).

В схемах обратных двухполюсников элементы дуальны (L↔C) и изменяется вид соединений (последовательное ↔ параллельное).

Два двухполюсника называются эквивалентными, если при разных схемах и выражениях они имеют одинакового вида АЧХ. В схемах эквивалентных двухполюсников элементы имеют разные величины, но меняется вид соединений (последовательное↔параллельное).

Канонические схемы двухполюсников.

Канонической называют схему, которая при правильном задании дает возможность выполнить это задание.

Если обобщить выражения входных сопротивлений простейших схем , то в общем случае выражение входного сопротивления двухполюсника будет иметь вид (в операторной форме):

При :

Так как степени n и m или равны или отличаются не более чем на 1, а всегда нечетная функция ω, может быть только четыре вида , которые назвали классами.

H, a, b – вещественные величины, зависящие от параметров элементов схемы.

I класс.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).

II класс.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).

III класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (m=n+1).

IV класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (n=m+1)

Частотные характеристики сопротивлений двухполюсников можно изобразить с помощью нулей (0) и полюсов (x).

Выражениям входного сопротивления (Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ (jω)) и входной проводимости (Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ (jω)) соответствуют определенные схемы реактивных двухполюсников, которые получили название канонических схем.

Возможны два варианта нахождения схем. Первый вариант основан на нахождении корней числителя и знаменателя и представлении выражений Z(jω) или Y(jω) в виде (на примере Z₄(jω), Y₄(jω)):

Таким же образом можно рассмотреть проводимости. В результате такого представления и анализа выражений Z(jω) и Y(jω) получаем, что каждому классу соответствуют две схемы (схемы Фостера):

1)

2)

3)

4)

В то же время для схем двухполюсников вида

Входное сопротивление и проводимость можно представить в виде цепочечной дроби (схемы получили название цепных или лестничных).

Если канонические выражения входных сопротивлений (Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ (jω)) и проводимостей (Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ (jω)) представить в виде цепочечной дроби можно получить еще по два варианта канонических схем каждого класса (схемы Кауэра):

1)

2)

3)

4)

Каждая из четырех схем соответствующего класса имеет уже показанную выше амплитудо-частотную характеристику (т.е. в каждом классе схем – 4, АЧХ – 1).

13