4. Применение спектрального метода для расчета переходных процессов.

Положим, что линейная цепь, имеющая комплексное сопротивление Z(j), присоединена к источнику э.д.с.e(t). Спектр э.д.с. обозначим черезE(j). Тогда спектр тока найдется по формуле

(1)

где - комплексная проводимость цепи.

Переходный ток в цепи находится по формуле

(2)

Формула (2) может иметь преимущество перед преобразованием Лапласа в тех случаях, когда спектр E(j) задан графически или когда процесс длится сt=-.

Возможен и другой ход рассуждений. Так как спектр единичной импульсной функции (t) равен 1, то(j)=1/Z(j) можно рассматривать как спектр реакции цепи на(t), т.е. спектр импульсной характеристикиL(t). Имея в виду, что спектр воздействующей э.д.с.e(t) равенE(j), воспользуемся формулой умножения спектров (см. таблицу):

(3)

Во второй формуле умножения спектров

с учетом того, что L()=0 при0, нижним пределом интегрирования будет нуль:

(4)

Пример 1.Последовательно сrиL₀включена э.д.с.e^at, действующая в бесконечном интервалеt=-доt=0. Найти ток приt0.

i(t)-?

Решение:Спектрусоответствует функция времениТак как э.д.с. действует только приt0, то согласно (3)

Таким образом, расчет переходных процессов спектральным методом состоит из нескольких этапов.

В момент t=0 происходит переключение.

1.Находится частотный спектр э.д.с. e(t). Удобно применять, если токи и напряжения изменяются во времени не гармонически.

2. Находим искомый ток (напряжение). Закон Ома для частотных спектров при ненулевых начальных условиях (при p=j):

(5)

Здесь знаменатель выражения (5) – это комплексное сопротивление цепи.

Далее определяем ток переходного процесса:

(6)

Ток так же может быть представлен в виде суммы элементарных гармоник с частотами, непрерывно изменяющимися от -до +, а величинапредставляет собой элементарную гармонику с частотойфункцииi(t).