6.3. Расчет целей с источника периодических несинусоидальных токов и напряжений.

Пусть имеется линейная электрическая цепь, содержащая активные сопротивления индуктивности и ёмкости.

е(t)=Е₀+

Рис. 6.5.

Требуется определить ток i(t) в зависимости цепи. ЭДС е(t) представлена суммой гармоник. Сумма гармоник ЭДС соответствует их последовательному соединению в электрическую цепь. Отметим, что для получения требуемой для практики точности расчета обычно ограничиваются тремя – четырьмя гармониками ряда Фурье. Поэтому бесконечный предел в сумме замененной конечным значением n (n=3,4).Тогда вместо ЭДС e(t) на рис 6.5 можно изобразить последовательное соединение ЭДС, начиная с нулевой до n-ой. (рис. 6.6)

Рис. 6.6

Для расчета цепи, представленной на рис 6.6 а. применяется метод наложения, т.е. цепь можно изобразить в виде суммы цепей для каждой из гармоник (рис. 6.6. б.). Здесь для каждой гармоники ЭДС находиться соответствующая гармонике тоже по эквивалентной с ним цепи для этой гармоники. Так на нулевой гармонике в цепи неизменной остаются только активные сопротивления r, индуктивности будут заменены проводниками, а ёмкости – бесконечно большими сопротивлениями. Для первой гармоники индуктивности представлены индуктивными сопротивлениями на первой гармонике X_L=ωL, емкости ёмкостными сопротивлениями на первой гармонике X_С1=.Дляn-ой гармоники расчет X_nL=nωL, X_nC1=.

Выполняется расчет цепей для каждой из гармоник по известным правилам. Результат представляется в виде интенсивных значений токов. Ток в исходные цепи (рис. 6.6 а)

Представляется как сумма мгновенных значений токов каждой из гармоник.

Нельзя складывать комплексные амплитуды токов разных гармоник, т.к. векторы их изображающие, вращаются с различными __!!!!!!Т!!!!!_____ угловыми скоростями.

Пример: определить ток в цепи, схема которой показана на рис. 6.7, если

r = 6 Ом, ωL=2 Ом, =8 Ом, e(t)=10+36sin(ωL+30⁰)+24sin(2ωL+10⁰)

Рис.6.7

Решение. Искомый ток найдем методом наложения, т.е. определим точки нулевой, первой и второй гармоник с последующим их суммированием.

Ток нулевой гармоники получим как отношение ЭДС нулевой гармоники Е=10 В к сопротивлению цепи на нулевой гармонике Z₀. Сопротивление цепи на нулевой гармонике Z₀=∞, так как ёмкость обладает бесконечно большим сопротивлением. Поэтому ток в I₀=0. Комплексные сопротивления цепи на первой гармонике Z₁=r₁+ jωL -j=6+j2-j8=6-j6=6е^-j4τ Ом

Следовательно, комплексная амплитуда тока первой гармоники будет равна

Комплексное сопротивление цепи на второй гармонике

Z₂=r₂+j2ωL-j=6+j4-j4=6 Ом.

Комплексная амплитуда тока второй гармоники будет равна

мгновенное значение тока второй гармоники

i₂=4sin(2ωt+10⁰)

Полный ток цепи запишем в виде

i(t)=sin(ωt+75⁰)+4sin(ωt+10⁰)

Отметим, что ток содержит только первую и вторую гармоники, в то время как напряжение, приложенное к цепи, содержит нулевую гармонику.

6.4. Действующее и среднее значение периодически несинусоидальных токов и напряжений.

Пусть ток определяется выражением:

Действующее или среднее квадратичное значение тока определяется выражением

Подставив значения тока в последнее выражение, получим

Подкоренное выражение может быть представлено в виде

Второе слагаемое в этом выражении будет равно нулю в силу ортогональности гармонических функций.

Тогда подкоренное выражение будет равно

Вычислив интеграл, получим:

Действующее значение тока равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений токов каждой гармоники. Для рассмотренного выше примера действующее значение тока будет равно:

Действующее значение напряжения определяется аналогично

Среднее значение функции определяется как интеграл от этой функции за период по отношению периоду. Известно, что интеграл от гармонической функции за период равен нулю. Поэтому среднее значение тока или среднее значение напряжения будет равно соответствующим нулевым гармоникам.