8. Переходные процессы в лэц с сосредоточенными параметрами.

В предыдущих разделах рассматривались установившиеся процессы в линейных электрических цепях (ЛЭЦ), т.е. такие процессы, при которых илибо не изменены во(цепи =) либо представляют периодические функции(цепи).

8.1 Возникновение переходных процессов (п/пр) и порядок составления уравнения, характеризующих п/пр.

Наступлению установившегося процесса, отлично от первоначального режима работы цепи, предшествует переходный процесс, при котором иизменяютсяне периодически.

Переход от одного режима работы цепи к другому режиму может быть вызван изменением параметров или схемы цепи, называемым в общем случае в электротехнике коммутацией.

включение, выключение.

Можно считать, что коммутация цепи производится мгновенно, т.е. на включение или переключение цепи время не расходуется. Тем не менее переход режима работы цепи к последующему установившемуся процессу происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени. Объясняется это тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрическихи магнитныхполей.

Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей, которые не могут изменятся мгновенно, без скачков, т.к. в противном случае мощность достигла бы бесконечных значений, что физически, невозможно. Поэтому в случае размыкание ветви с индуктивной катушкой, в месте размыкания неизбежно возникает искра, в сопротивлении которой расходуется энергия, накопленная в магнитном поле индуктивной катушки.

Аналогично, если замкнуть накоротко зажимы конденсатора, который был заряжен, то запасенная энергия рассеется между контактами и в сопротивлении соединяющего проводом.

Практически время п/пр определяется малым интервалом, по истечению которого инастолько приближаются к установившимся значениям, что разница оказывается практически неощутимой. Чем интенсивнее происходит рассеивание энергии в сопротивлениях, тем быстрее протекает п/пр.

В одних случаях п/пр в ЭЦ нежелательны и опасны (например, пир к.з. в энергитических системах). В других случаях п/пр представляет нормальный, естественный режим работы цепи (напр., в радиопередающих и радиоприемных устройствах, САР и др.).

Существуют различные методы расчета п/пр в АЭЦ: классический, операторный, спектральный метод интеграл Дюамеля, метод переменных состояния. Настоящий раздел посвящен классическому методу решения дифференциальных уравнений, описывающих п/пр.

8.2Порядок составления уравнений, характеризующих переходный процесс.

Сущность классического метода анализа п/пр заключается в следующем:

1. составляется система интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов, напряжений и зарядов рассматриваемой цепи после коммутации, т.е. после замыкания или размыкания ключа,

2. путем повторного дифференцирования система интегро-дифференциальных преобразуется в систему дифференциальных уравнений;

3. система дифференциальных уравнений решается относительно одной переменной величины (путем исключения переменных, подстановок;

4. затем решается дифференциальное уравнение известными из математики способами. Пользуясь начальными условиями, определяют постоянные интегрирования и в итоге получают токи и напряжения п/пр функции времени.

Порядок дифференциального уравнения равен числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей ) в исследуемой цепи.

При составлении этой системы уравнений, связывающие мгновенные значения входных и выходных электрических величин между собой, используются следующие состояния, которые необходимо помнить:

(8.1)

где напряжение на активном сопротивлении;

напряжение на индуктивности;

напряжение на емкости.

Уравнения, описывающие процессы в электрических цепях, составляются по закону Кирхгофа.

Пример. Рассмотрим порядок составления дифференциальных уравнений на примере разветвленной цепи.

На основе законов Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

(8.2)

Чтобы получить дифференциальное уравнение, например, для тока , надо исключить токи и в системе уравнений (8.2). Для этого сложим уравнения (8.2 б) и (8.2 в):

(8.3)

Из уравнения найдем (8.2 а) найдем: . Подставив , в (8.2 в), получим:

Найдем отсюда и подставим в уравнение (8.3).

Получим:

Возьмем производную от обеих частей и одновременно разделим на :

Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для и . Какой бы сложной не была исследуемая цепь, можно всегда составить для нее систему уравнений по законам Кирхгофа и свести ее к одному дифференциальному уравнению относительно искомой электрической величины ().

Порядок этого дифференциального уравнения не больше числа реактивных элементов , имеющихся в рассматриваемой цепи, так как на этих элементах ток и напряжении связаны не алгебраически, а дифференциальными соотношениями. При этом следует считать две последовательно соединенные индуктивностиза однуи две параллельно соединенные емкостииза одну.

В ряде случаев после коммутации цепи распадаются на несколько схем отдельно.