6. Парламентское голосование

Парламент разделен на три фракции (б. з. к.). Каждая из фракций может проголосовать за или против.

G=<I={б,з,к}, S_i={за, против}, U_i>

Решение принимаются большинством голосов. Б – не хотят законопроект. З, К хотят законопроект.

Если закон пройдет, то з,к получат 1, если не пройдет, то все получат 0.

Б. За

			к
			За		Против
з	За	(-1; 1, 1)		(-1; 1, 1)
	Против	(-1; 1, 1)		(0; 0, 0)

Против

			к
			За		Против
з	За	(-1; 1, 1)		(0; 0, 0)
	Против	(0; 0, 0)		(0; 0, 0)

U1(За)=(-1,-1,-1,0)

U1(Против)=(-1,0,0,0)

U1(Против) доминирует U1(За). Смотрим стратегию против. Видим. Что равновесия Нэша это стратегия (против, за, за).

7. Аукцион Викри

Некий предмет продается на аукционе. I=1..K+1 участник (Kигроков назвали такую же цену и сам участник). Цена по заявке p_i. Побеждает участник, предложивший самую высокую цену по порядку убывания. Если i участок окажется победителем, то его выигрыш составит v_i-p_i , где v_i ценность для него данного предмета. Выигрыш всех остальных 0. P_i=v_i – доминирующая «правдивая» стратегия.

Pmax=max{p_-i} – максимальная из всех цен, названных остальными.

8. Трагедия общин

• N фермеров в деревне

• Каждое лето все пасут своих коз на общих пастбищах

• g_i – количество коз i фермера.

• G = g₁ + g₂ + … + g_n

• C – издержки на содержание козы

• V(G) – ценность того, что одна коза пасется на пастбище с остальными козами

• Существует Gmax – максимальное количество коз, которые пасутся на пастбище

• Идея: когда на пастбище мало коз, то выпас еще одной дополнительной козы мало повредит остальным, но когда коз итак много, то дополнительная коза сильно вредит.

• Весной все фермеры решают сколько коз им содержать

• Козы бесконечно делимы (функция непрерывна)

• Стратегия фермера : выбрать g_i ∈ G

• Выигрыш фермера i:

Если – равновесие Нэша, то для любого i, g_i должно давать максимальный выигрыш при условии, что все остальные выбрали g-_i*. Решаем задачу максимизации.

FOC

N уравнений для каждого фермера. Складываем все эти уравнения.

равновесие Нэша для одного фермера. (1)

Общественный оптимум (G**).

FOC v(G**) + G**v’(G**) - c=0 (2)

Сравнивая (1) и (2) получаем G* > G **. Если фермер принимает во внимание только свой личный выигрыш, то общественное благо перерасходуется.

9. Теорема Нэша

Равновесие Нэша в смешанных стратегиях

a+c c	a b
0 0	c b+c

a<b

a<c

DSNE в чистых стратегиях

MSNE в смешанных стратегиях

Определение Рассмотрим игру в нормальной форме G=<I; S1; Sn; u1 ….,Un> и предположим что si={si1,…Sik} тогда назовем смешанной стратегией игрока i-распределение вероятностей pi =(pi1…pik),где 0<=pik<=1 k=1..k pik

Замечание о строго доминируемых и смешанных стратегиях

Если Si строго доминируема,у I игрока не существует таких вероятностей >0 , чтобы было оптимально играть стратегию .

Теорема Нэша 1950

Равновесие N в смешанных стратегиях существуют в любой конечной игре.

Если n –конечное число игроков ,а также Si- множество стратегий с конечным числом элементов, то равновесие по Нэшу существует (возможно в смешанных стратегиях).

Утверждение (характеристика равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях для конечной игры)

Смешанная стратегия p* является равновесной по Нэшу тогда и только тогда ,когда для каждого игрока I:

1)ожидаемый выйгрыш (для фиксированных pi* )для всех стратегий которым pi* приписывает положительные вероятности одинаковые

2)ожидаемы выйгрыш для каждой стратегии которой Pi* приписывает положитительные вероятности больше ожидаемого выигрышу любой стратегии .которой приписывает нулевые вероятности.