13. Спин. Спин электрона

В1920-30годы было экспериментально установлено, что электрон, протон и нейтрон обладают моментом импульса, не связанным с их движением в пространстве. Этот момент импульса называется собственным моментом импульса или спином1.

Гипотеза о существовании у электрона собственного момента импульса была высказана английскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 году для объяснения расщепления энергетических уровней атомов в магнитном поле. В дальнейшем, по мере открытия новых микрочастиц, выяснилось, что большинство из них также обладают спином.

Спин — явление чисто квантовое2, поэтому наглядные классические модели типа “вращающегося” электрона к спину неприменимы. Спин следует рассматривать как фундаментальное свойство микрочастицы, данное ей “от рождения” подобно массе или электрическому заряду.

11.1.Спиновые состояния электрона

Наличие спина у микрочастиц, прежде всего у электрона, определяет многие важные свойства атомов и молекул и, в конечном счете, многие свойства вещества. Чтобы применить квантовую механику в изучению этих свойств, нужно иметь математическое описание квантовых состояний, связанных со спином, и, кроме того, нужно построить оператор спина. Эта задача облегчается тем, что некоторые формальные свойства спина аналогичны свойствам орбитального момента импульса, хотя между этими динамическими переменными имеются и важные различия.

Как и орбитальный момент импульса , спин — векторная динамическая пере-L

менная; обычно спин обозначается символом . Напомним, что собственные зна-S

чения квадрата орбитального момента импульса и его проекции на произвольную ось квантования (ось z) даются формулами (8.9). Спин квантуется аналогичным образом, т. е. его квадратS2 и проекцияSz могут принимать значения

S2 = 2s(s+ 1), Sz = ms ,	(11.1)

где s — спиновое квантовое число, аms — спиновое магнитное квантовое число. В отличие от азимутального квантового числаl, которое определяетL2, квантовое числоs для данной частицы во всех состояниях имеет одно и тоже

значение. В частности, для электрона, протона и нейтрона s = 1/2. Есть частицы, у которыхs = 0; они называются бесспиновыми. Спином обладают не только элементарные частицы, но и составные частицы, например, атомы или их ядра. У составных частиц спиновое числоs может быть как целым, так и полуцелым (скажем,s = 1 илиs = 3/2 ). Обычно, когда говорят, что частица обладает спиномs, имеют в виду значение спинового квантового числа. По этой терминологии электрон имеет спин 1/2.

Спиновое магнитное квантовое число ms может принимать значения

ms = −s, −s+ 1, . . . , s −1, s ,

(11.2)

т. е. всего 2s + 1 значений. В частности, для частиц со спином 1/2 проекция спина на ось квантования может принимать только два значения:Sz =/2 илиSz=− /2. В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать спин электрона, однако все сказанное относится к любой частице со спином 1/2.

Раньше мы считали, что квантовое состояние электрона можно описать волновой функцией ψ(r, t), зависящей от координат и времени1. Ясно, что с учетом спина такое описание является неполным, так как нужно еще указать, в каком спиновом состоянии находится электрон. Если зафиксирована некоторая ось квантования (осьz), то электрон может быть обнаружен в одном из двух независимых спиновых состояниях, которые характеризуются значениями магнитного спинового числаms = 1/2 илиms =−1/2. Таким образом, в общем случае для полного описания состояния электрона требуется задатьдве волновые функцииψ1/2(r, t) и

ψ−1/2(r, t). Нижний индекс указывает на значение квантового числаms. В первомслучае ms = 1/2, а во второмms =−1/2. Иногда для наглядности используют индексы↑ и↓ и говорят, чтоψ1/2 ≡ ψ↑ — волновая функция электрона со спином,

направленным вдоль оси z, аψ−1/2 ≡ ψ↓ — волновая функция электрона со спином, направленным противоположно осиz.

Величина |ψ1/2(r, t)|2 dV есть вероятность того, что электрон в момент времениtнаходится в объемеdV с проекцией спинаSz =/2, а|ψ−1/2(r, t)|2 dV — вероятность

обнаружить электрон в объеме dV с проекцией спинаSz =− /2. Таким образом, должно выполняться соотношение

|ψ1/2(r, t)|2 + |ψ−1/2(r, t)|2 dV= 1,

(11.3)

которое играет роль условия нормировки с учетом двух возможных спиновых состояний электрона.

Вместо того, чтобы каждый раз упоминать о двух независимых волновых функциях ψ1/2 иψ−1/2, описывающих квантовое состояние электрона и других частиц

со спином s = 1/2, удобно объединить эти волновые функции в один математический объект. Это можно сделать, например, если считать, что волновая функция электронаψ(r, σ, t) зависит не только от непрерывных переменных — координатx,y,z, но и от дискретной (спиновой) переменнойσ, которая принимает всего два

значения, например, σ = 1/2 иσ =−1/2, причем

	ψ(r, σ= 1/2, t) = ψ1/2(r, t),						(11.4)
	ψ(r, σ= −1/2, t) = ψ−1/2(r, t).
	В новых обозначениях условие нормировки (11.3) запишется так:
	1/2
	σ=	−	1/2	dV |ψ(r, σ, t)|2 = 1.		(11.5)

При обсуждении общих вопросов теории часто используют еще более сокращенные обозначения. Введем набор переменных q = (x, y, z, σ), включающий координаты электрона и спиновую переменную. Координаты являются непрерывными переменными, а спиновая — дискретной переменной, принимающей всего два значения. Квантовое состояние электрона будет описываться волновой функциейψ(q, t). Договоримся также, что для функций, зависящих отq, символ+ . . . dq означает интегрирование по непрерывным переменным (координатам) и суммирование по

дискретной спиновой переменной. Тогда формулу (11.5) можно записать в очень компактном виде

|ψ(q, t)|2 dq= 1.(11.6)

Все сказанное выше легко переносится на частицы со спином s = 1/2. В общем случае спиновая переменнаяσ пробегает 2s + 1 значений. При этом все формулы будут выглядеть совершенно одинаково для частиц с любым значением спина.

Приведем еще одно популярное обозначение для волновой функции электрона (и других частиц со спином s = 1/2). Объединим функцииψ1/2(r, t) иψ−1/2(r, t) в

матрицу, имеющую две строки и один столбец:

Ψ(r, t) =	ψ1/2(r, t)	.	(11.7)
	ψ−1/2(r, t)

В квантовой механике такая двухкомпонентная волновая функция называется спинором. Введем также сопряженный спинор Ψ†(r, t) — матрицу с одной строкой и двумя столбцами:

Ψ† =ψ1/2 ψ−	1/2	.	1	(11.8)
Умножая Ψ† слева Ψ по правилу умножения матриц, получим

Ψ†Ψ =|ψ1/2|2 +|ψ−1/2|2.

Вспоминая соотношение (11.3), видим, что условие нормировки для спинора (11.7) выглядит как

Ψ†ΨdV = 1. (11.9)

1В результате такого умножения получается матрица с одной строкой и одним столбцом, т. е. всего с одним элементом. Матрицу (a), гдеa — единственный элемент, принято считатьчислом a.

106

Заметим, что спинор (11.7) можно записать в виде суммы двух спиноров

Ψ(r, t) = ψ1/2(r, t)	1	+ ψ−1/2(r, t)	0	.	(11.10)
	0		1

Это позволяет рассматривать спиноры

χ1/2 ≡ χ↑ =	1	,	χ−1/2 ≡ χ↓ =	0		(11.11)
	0			1

как спиновые “волновые функции”, соответствующие двум возможным значениям проекции спина электрона на ось квантования z.

Следует иметь в виду, что цель введения перечисленных выше обозначений состоит лишь в упрощении формул. В конкретных расчетах все выражения приходится записывать, в конце концов, через волновые функцииψ1/2 иψ−1/2.