7. Принцип суперпозиции ψ-функций. Разложение по собственным функциям. (физический смысл коэффициентов разложения)

Суперпозиция состояний

Рассмотрим теперь простой мысленный опыт, который позволит нам устано- вить одно важное свойство волновых функций. Представим себе, что пучок частиц (например, электронов) с одинаковой энергией и, следовательно, с одинаковым им-

пульсом p˙ падает на пластинку с двумя узкими щелями (см. Рис. 2.1.). Частицы

регистрируются датчиками, расположенными в различных точках экрана.

Из курса оптики известно, что в случае, когда на пластинку падает монохро- матический свет с частотой ω, на экране наблюдается характерное чередование максимумов и минимумов интенсивности из-за интерференции световых волн, по- павших на экран от двух щелей. Согласно гипотезе де-Бройля, пучок микроча- стиц в данной ситуации будет вести себя аналогичным образом, т. е. на экране получится такое же распределение частиц, зарегистрированных датчиками. Для наблюдения этого распределения в качестве экрана можно взять фотопластинку. Тогда каждое зерно фотопластинки будет играть роль датчика частиц. Итак, на экране должно получиться распределение частиц, показанное на Рис. 2.1. Как объяснить это, исходя из представления о волнах де-Бройля?

Будем рассуждать по аналогии с оптикой, где интенсивность света в каждой точке экрана пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электриче- ского поля приходящей волны. При этом напряженность поля в данной точке находится как сумма напряженностей в волнах, пришедших от первой и второй щелей (принцип суперпозиции световых волн).

Чтобы получить аналогичную картину для микрочастиц, мы должны допустить, что для волн де-Бройля справедлив принцип суперпо- зиции, т. е. волновая функция Ψ(P, t) в точке P на экране есть сумма

где Ψ₁ и Ψ₂ соответствуют волнам де-Бройля, пришедшим в точку P от первой и второй ще- лей. Квадрат амплитуды суммарной волны Ψ и будет пропорционален числу частиц, по- павших в окрестность точки P на экране. К

Рис. 2.1.

сожалению, мы пока не знаем, как записать выражения для Ψ₁ и Ψ₂, так как от щелей

распространяются расходящиеся волны де-Бройля. Если, однако, экран распо- ложен достаточно далеко от пластинки, то можно приближенно считать Ψ₁ и Ψ₂ плоскими волнами и воспользоваться формулой (2.16). Тогда

где r₁ и r₂ — расстояния от щелей до точки P . Строго говоря, амплитуды A₁ и A₂ отличаются друг от друга, так как в общем случае щели находятся на разных расстояниях от точки P . Впрочем, если точка P расположена недалеко от центра интерференционной картины, этим различием можно пренебречь. Именно так мы поступим и для простоты положим A₁ ≈ A₂ = a. Будем также считать, что ампли-туда a — действительное число. Для вычисления квадрата амплитуды суммарнойволны (2.19) мы используем прием, который в дальнейшем будет часто встречать- ся. Так как Ψ — комплексное число, его можно записать в виде , где A амплитуда волны, которая нас интересует.

Далее заметим, что

|

, где — величина, комплексно сопряженная Ψ; она получается из Ψ заменой i на

−i. Используя (2.20) с A₁ = A₂ = a, пишем

_.

Раскрывая скобки, находим, что

где мы воспользовались известным из математики выражением для косинуса через мнимые экспоненты:

Формула (2.21) описывает распределение интенсивности пучка частиц на экране. Аргумент косинуса в этой формуле можно записать в виде 2π

Таким образом, в зависимости от “разности хода” (r₂ − r₁) волн де-Бройля до различных точек экрана, в них будут наблюдаться максимумы интенсивности (там, где косинус равен единице) и минимумы интенсивности (там, где косинус равен −1). Мы имеем типичную картину дифракции волн на двух щелях, хорошо известную из оптики.

Ключевым моментом нашего вывода является выражение (2.19) для волновой функции частиц на экране. Из него следует неожиданный вывод, который еще раз демонстрирует необычность квантового поведения микрочастиц. В самом деле, Ψ₁ и Ψ₂ описывают два состояния движения частицы. Волновая функция Ψ₁ соответствует частице, которая попала на экран, пройдя через щель 1 (назовем это состоянием 1), а Ψ₂ — частице, которая прошла через щель 2 (состояние 2). Поэтому Ψ описывает состояние частицы, которое является “смесью”, или, как принято говорить в квантовой теории, — суперпозицией состояний 1 и 2. Ясно, что мы должны допустить возможность суперпозиции не только двух состояний частицы, но и произвольного числа состояний¹. По современным представлениям, принцип суперпозиции состояний справедлив для произвольной квантовой системы и является одним из фундаментальных принципов природы. В применении к одной частице, этот принцип гласит:

• Если частица может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ₁, Ψ₂,... Ψ_k, то она может находиться и в состоянии, которое описывается волновой функцией

где a_i — любые комплексные числа.

Суперпозиция состояний — типично квантовое явление. Напомним, что в классической механике состояние движения частицы описывается некоторой траекторией

Ясно, что частица не может двигаться одновременно по двум различным траекториям. Отсюда следует, кстати, что само понятие траектории частицы в квантовой механике теряет физический смысл, поскольку оно противоречит принципу суперпозиции состояний.

Отсутствие траекторий у микрочастиц и возможность суперпозиции их кванто- вых состояний трудно себе представить, так как ничего похожего нет в макроско- пическом мире, доступном нашему непосредственному наблюдению. В 1920-е годы принцип суперпозиции квантовых состояний вызвал бурную дискуссию. Многие физики и, в частности, Эйнштейн, который сам внес важный вклад в развитие

¹Иначе невозможно объяснить дифракцию пучка частиц на пластинке с нескольки- ми щелями или, скажем, дифракцию электронов на кристаллах, которая наблюдается в эксперименте.

Рис. 2.2. Регистрация n частиц на экране при дифракции на двух щелях: а) n = 10, б) n = 100, в) n = 1000.

квантовых идей, отказывались признавать этот принцип. Однако дальнейшая ис- тория физики (прежде всего — эксперименты и технические достижения, основан- ные на квантовой механике) подтвердили справедливость принципа суперпозиции состояний.