9.Нелинейные регрессии и их характеристика.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней – 

– равносторонняя гипербола –

–полулогарифмическая функция –  .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная –  ;

– показательная –  ;

– экспоненциальная –  .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Так, парабола второй степени   приводится к линейному виду с помощью замены: x=x₁, x²=x₂. В результате приходим к двухфакторному уравнению  , оценка параметров которого при помощи МНК

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой

Y = A X^β , где А и β . параметры модели (т. е. константы, подлежащие определению).

Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по экспоненте

Прологарифмировав обе части , имеем: lnY = lnA + βlnX .

После замены lnA = β₀, примет вид: lnY = β₀ + βlnX.

С целью статистической оценки коэффициентов добавим в модель случайную погрешность ε и получим так называемую двойную

логарифмическую модель: lnY = β₀ + βlnX + ε.

Не являясь линейным относительно X и Y, данное уравнение является линейным относительно lnX и lnY, а также относительно параметров β₀ и β. Вводя замены Y* = lnY и X* = lnX , можно переписать в виде: Y= β0+ βX+ ε

Модель является линейной моделью. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов β0 и β.

Отметим, что коэффициент β определяет эластичность перемен-

ной Y по переменной Х, т. е. процентное изменение Y для данного

процентного изменения Х.

10.Функция регрессии и основные задачи статистического анализа парной связи.

Для количественного описания взаимосвязей между экономическими переменными в статистике используют методы регрессии и корреляции.

Регрессия - величина, выражающая зависимость среднего значения случайной величины у от значений случайной величины х.

Уравнение регрессии выражает среднюю величину одного признака как функцию другого.

В общем виде, уравнение парной̆ регрессии выглядит следующим образом:

y_i = M(Y|X = x_i) + ε_i = β₀ + β₁x_i + ε_i.

где

y− зависимая переменная (регрессант), x− независимая переменная (регрессор), β ₀ , β ₁ − оцениваемые параметры,

ε − ошибка линии регрессии. Линия регрессии - график функции у = f (x).

2 типа взаимосвязей между х и у:

1)  может быть неизвестно, какая из двух переменных является независимой, а какая - зависимой, переменные равноправны, это взаимосвязь корреляционного типа;

2)  если х и у неравноправны и одна из них рассматривается как объясняющая (независимая) переменная, а другая - как зависимая, то это взаимосвязь регрессионного типа.

задачи статистического анализа парной связи.: 1. Определить результативный и факторный признак. Оцените с экономической точки зрения важность факторов и последовательность их включения в уравнение регрессии 2. Изобразите связь между изучаемыми явлениями графически 3. Рассчитайте линейные коэффициенты корреляции и проверьте значимость. Проанализируйте характер связи между признаками 4. Построите уравнение регрессии с помощью методов наименьших квадратов 5. Проверьте значимость коэффициентов уравнения регрессии с помощью t –критерия Стьюдента 6. Для статистически значимых коэффициентов постройте интервальные оценки 7. Проверьте значимость уравнения регрессии с помощью F-критерий Фишера 8. С экономической точки зрения сформулируйте выводы относительно исследуемой связи.