3. Теоретическая и выборочная ковариация. Коэффициент корреляции

Для описания связи между СВ X и Y применяют центральный

момент порядка 1,1 (μ_1,1), который называется ковариацией СВ Х и Y:

σxy = COV (X, Y) = M((X − M(X))(Y − M(Y)) = M(XY) − M(X)M(Y).

Ковариация является абсолютной (зависящей от размерностей)

мерой взаимосвязи (совместного изменения (co-vary)) переменных.

Свойства Ковариации:

1. 

2. D(X)=

3. Если Х и У независимые СВ, то

4. 

5. 

Оценкой теоретической ковариации является выборочная ковариация:

Cov(x;y)>0-связь есть и она положительная

Cov(x;y)<0-связь есть , но она отрицательная,

Cov(x;y)=0-связь отсутствует

В принципе ковариация может служить индикатором наличия

связи между СВ − ковариация в этом случае положительна либо отрицательна. Однако существенным недостатком ковариации является ее зависимость от размерностей рассматриваемых СВ. Поэтому при различных единицах измерения СВ одна и та же зависимость может выражаться различными значениями ковариаций. Кроме того, ковариация не позволяет определить силы (строгости) зависимости между рассматриваемыми СВ. Для устранения данных недостатков вводится относительная мера взаимосвязи (безразмерная величина) − коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называют величину

Зависимость между СВ Х и Y, характеризуемая коэффициентом

корреляции, называется корреляцией. СВ Х и Y называются некоррелированными, если ρxy = 0, что равносильно равенству σxy = 0. Если

же ρxy ≠ 0, то СВ X и Y называют коррелированными.

Свойства коэффициента корреляции

1. ρxx = 1;

2. ρxy = ρyx;

3. 1 ≤ ρxy ≤ 1;

4. Если СВ Х и Y независимы, то ρxy = 0;

5. |ρxy| = 1 тогда и только тогда, когда Y = a + b⋅x (т.е. между СВ

Х и Y существует линейная функциональная зависимость).

Заметим, что если Х и Y − независимые СВ, то Х и Y − некоррелированные СВ. Обратное утверждение неверно.

выборочный коэффициент корреляции rxy

справедливы следующие свойства:

1. Если между СВ Χ и Υ существует положительная (отрицательная) линейная зависимость, то r_xy > 0 (r_xy < 0).

2. Выборочный коэффициент корреляции r_xy является безразмерной величиной.

3. −1 ≤ r_xy ≤ 1.

4. Если между СВ Χ и Υ отсутствует линейная связь, то r_xy = 0.

5. Чем ближе r_xy по модулю к 1, тем сильнее линейная связь между Χ и Υ.

Если r(x;y)=+1- связь линейная максимально положительная.

Если r(x;y)=-1- св. линейная максимально отрицательная.

Если r(x;y) не =0 и не =1- связь существует, но носит в определенной степени нелинейный характер.

Если r>0,9-абсолютная, r [0,7-0,9]-сильная, r[0.5-0.7]-средняя, r[0.3-0.5[-удовлетворительная, r[0.1-0.3[-слабая, r<0.1- отсутствует.

4. Простейшая эконометрическая модель.

Эконометрическая модель (econometric model) - это статистическая модель, которая является средством прогнозирования значений определенных переменных, называемых эндогенными переменными (endogenous variables). Для того чтобы сделать такие прогнозы, в качестве исходных данных используются значения других переменных, называемых экзогенными переменными (exogenous variables). 

Простая линейная регрессионная модель устанавливает линейную зависимость между двумя переменными, например, уровнем потребления и уровнем доходов населения и т.п.

В общем виде, уравнение парной̆ регрессии выглядит следующим образом:

y_i = M(Y|X = x_i) + ε_i = β₀ + β₁x_i + ε_i.

где

y− зависимая переменная (регрессант), x− независимая переменная (регрессор), β ₀ , β ₁ − оцениваемые параметры,

ε − ошибка линии регрессии. Чтобы иметь явный вид зависимости, необходимо найти (оценить) неизвестные параметры β₀ и β₁ .

По мнк, при соблюдении всех предпосылок, оценки β₀ β₁ находятся по формулам:

Для оценки параметров и построения эконометрической модели необходимо сформировать совокупность наблюдений. Данная совокупность наблюдений может быть отражена в системе координат в виде корреляционного поля. На основе гипотезы о линейной зависимости между x и y , через корреляционное поле можно провести множество прямых линий, которые отличаются друг от друга величинами β₁ и β₀. Даже наиболее точно подобранная линия регрессии будет содержать отклонения истинных наблюдений от расчетных, т.е. лежащих на прямой. Отклонения от точек, лежащих на прямой, могут быть как положительными, так и отрицательными.

5. Спецификация эконометрических моделей.

Построение эконометрических моделей, т. е. представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа. Данную проблему принято называть проблемой спецификации.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессию.

Парная регрессия – регрессия между двумя переменными y и x, т.е. модель вида y = f(x)

где  y – зависимая переменная (результативный признак);

x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Спецификация  модели – формулировка вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными. Со спецификации модели начинается любое эконометрическое исследование. Иными словами, исследование начинается с теории, устанавливающей связь между явлениями.

Прежде всего, из круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.  В уравнении регрессии корреляционная связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией

где  y_j —   фактическое значение результативного признака;

   —теоретическое значение результативного признака.

    — случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.

Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей  мере теоретические значения результативного признака  подходят к фактическим данным у.

К ошибкам спецификации относятся неправильный  выбор той или иной математической функции для , и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.