Пример 4.2
Решить задачу ЛП в канонической форме симплекс-методом.
(4.2)
Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения (кроме условий неотрицательности переменных) имеют вид строгих равенств, а все свободные члены неотрицательны.
Чтобы найти начальное допустимое базисное решение, систему (2.4.6) нужно привести к "диагональному" виду. В данном примере легче всего назначить нулевые значения переменным x1 и x3, а значения остальных выразить через них.
x2 + x1 + x3 = 40
x4 + x1 = 20 (4.3)
x5 - x.1 - x3 = 10
x6. + x3 = 30
Подставив их в уравнение целевой функции выразим её через x1 и x3.
f(x) +7x1 +14x3 =880
Теперь при помощи составляем начальную симплекс-таблицу (таблица 4.1):
Таблица 4.1
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x0 (f) |
880 |
7 |
0 |
14 |
0 |
0 |
0 |
x2 |
40 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x.4 |
20 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x5 |
10 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
x6 |
30 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
В нулевую строчку записаны коэффициенты соответствующих переменных при целевой функции. Так как все переменные неотрицательны, то целевая функция тем меньше, чем меньше эти коэффициенты. Отсюда критерий оптимальности: допустимое базисное решение (д.б.р.) (x0) оптимально, если в нулевой строчке нет ни одного строго положительного числа (не считая значения целевой функции (880)). В нулевом столбике записаны значения базисных переменных. Они обязательно должны быть неотрицательными. От первой по четвертую строки написаны коэффициенты переменных из системы.
Так как x0 неоптимальное, то надо перейти к другой вершине многогранника допустимых решений (построить новое д.б.р.). Для этого нужно найти ведущий элемент и провести симплексное преобразование (таково требование симплекс-метода).
Ведущий элемент таблицы стоит в пересечении ведущего столбика (столбец с наибольшей положительной оценкой) и ведущей строки (строки, соответствующей минимальному соотношению элементов нулевого столбика к соответствующим элементам (строго положительным) ведущего столбика).
В таблице 1 ведущий столбик - третий столбик, и ведущая строка - четвертая строка (min{40/1,30/1}=30/1) обозначены стрелками, а ведущий элемент - кружочком. Ведущий элемент показывает, что базисную переменную x6 нужно заменить на небазисную x3 . Тогда новыми базисными переменными будут x2, x3, x4, x5, , а небазисными -x1, x6, . Это и означает переход к новой вершине многогранника допустимых решений. Чтобы найти значения координат д.б.р. x00 нужно строить новую симплекс-таблицу и провести в ней элементарные преобразования:
а) все элементы ведущей строки поделить на ведущий элемент, превратив этим самым ведущий элемент в 1 (для простоты выкладок); б) с помощью ведущего элемента (равного 1) все элементы ведущего столбика превратить в нули (аналогично методу исключения неизвестных);
В результате в нулевом столбце получены значения новых базисных переменных x2, x3, x4, x5, (см. таблицу 4.2 ) - базисные компоненты новой вершины x00 (небазисные компоненты x1=0, x6=0, ).
Таблица 4.2
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x0 (f) |
460 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-14 |
x2 |
40 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
x.4 |
20 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x5 |
10 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
x6 |
30 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Как показывает таблица 2, новое базисное решение x00=(0,10,30,20,40,0) неоптимально (в нулевой строке есть неотрицательная оценка 7). Поэтому с ведущим элементом 1 (см. таблицу 2 ) строим новую симплекс-таблицу, т.е. строим новое д.б.р.
Таблица 4.3
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x0 (f) |
390 |
0 |
-7 |
0 |
0 |
0 |
-7 |
x1 |
10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
x.4 |
10 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
x5 |
50 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x6 |
30 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Таблице 3 соответствует д.б.р. x000=(10,0,30,10,50,0) и оно оптимально, т.к. в нулевой строчке нет положительных оценок. Поэтому f(x000)=390 есть минимальное значение целевой функции.
Ответ: x000=(10, 0, 30, 10, 50, 0) - точка минимума, f(x000)=390 .
Симплексные преобразования новых базисных решений удобно выполнять в приложении Excel.
На рис.4.8 показана таблица коэффициентов для исходной системы в базисном виде для вершины (x1 = 0, x3 =0).
)Коэффициенты при нулевых переменных x1 и x3 -положительны. Значит целевая функция – не минимальна. Выбираем перемещение по ребру x3 до следующей вершины симплекса, в которой
Х3 = 30.
Рис. 4.8 Значение целевой функции в вершине (x1 = 0, x3 =0).
На рис. 4.9 показана таблица коэффициентов для следующей системы в базисном виде для вершины (x1 = 0, x6 =0).
Рис. 4.9 Значение целевой функции в вершине (x1 = 0, x6 =0).
На рис. 4.10 показана таблица коэффициентов для последней системы в базисном виде для вершины (x2 = 0, x6=0).
Рис. 4.10 Значение целевой функции в вершине (x2 = 0, x6 =0).
Отрицательность коэффициентов при нулевых переменных (x2 = 0, x6=0) в целевой функции f(x) свидетельствует о достижении её минимального значения в этой вершине симплекса.
Варианты заданий для этого примера приведены в приложении 4.2