1. Постановка задачи оптимизации

Сборочное предприятие запускает в производство автомобили трех классов: седаны, пикапы и спортивные автомобили. Для запуска в производство седанов требуется израсходовать 2 млн ден.ед., пикапов – 3 млн ден.ед., спортивных автомобилей – 7 млн ден.ед. Другие характеристики выпускаемых автомобилей приведены в таблице.

Класс автомобиля	Прибыль от продажи одного автомобиля, ден.ед.	Затраты времени на сборку одного автомобиля, ч
Седан	6000	12
Пикап	8000	15
Спортивный	11000	24

Для выполнения заказов предприятию требуется выпустить не менее 100 седанов, не менее 200 пикапов и не менее 300 спортивных автомобилей.

Составить план производства автомобилей, обеспечивающий кратчайший срок окупаемости затрат, необходимых для запуска автомобилей в производство.

2. Построение базовой аналитической модели

В данной задаче необходимо составить план производства автомобилей, обеспечивающий кратчайший срок окупаемости затрат, необходимых для запуска автомобилей в производство.

Для построения математической модели введем следующие переменные: X₁ – седаны, X₂ – пикапы и X₃ – спортивные автомобили. Так как для запуска в производство седанов требуется израсходовать 2 млн. ден.ед., для запуска пикапов требуется израсходовать 3 млн. ден.ед. и для запуска спортивных автомобилей – 7 млн. ден.ед. Значит нужно составить ограничения. Так как прибыль от продажи одного седана равна 6 000 ден.ед., от продажи одного пикапа 8 000 ден.ед. и спортивного автомобиля 11 000 ден.ед., то прибыль от выпуска седана составит 6 000 ∙ X₁ ден.ед., от выпуска пикапа 8 000 ∙ X₂ ден.ед. и от спортивного автомобиля 11 000 ∙ X₃ ден.ед. Суммарные затраты на запуск в производство седана, пикапа и спортивного автомобиля составляют 2 000 000+3 000 000+7000 000 = 12 000 000 ден.ед. Следовательно, ограничение будет иметь вид:

6 000 ∙ X₁+8 000 ∙ X₂ +11 000 ∙ X₃ = 12 000 000

В условии также указано, что предприятие должно выпустить более 100 седанов, 200 пикапов и 300 спортивных автомобилей. Эти ограничения будут иметь вид:

X₁ ≥ 100

X₂ ≥ 200

X₃ ≥ 300

Так как по своему физическому смыслу данные величины не могут иметь отрицательные или дробные значения необходимо ввести ещё два ограничения:

X_i ≥ 0, i = 1, 2, 3

Кроме того, исходя из физического смысла переменных, X_i – целые числа.

В данной задаче необходимо составить план производства автомобилей, обеспечивающий кратчайший срок окупаемости затрат, необходимых для запуска автомобилей в производство. В постановке задачи указано, что затраты времени на сборку одного седана 12 ч., на сборку одного пикапа 15 ч., на сборку одного спортивного автомобиля 24ч.

Тогда кратчайший срок окупаемости затрат, необходимых для запуска автомобилей в производство будет 12 ∙ X₁ + 15 ∙ X₂ + 24 ∙ X₃ ч. Отсюда сделаем вывод о том, что целевая функция примет вид:

E = 12 ∙ X₁ + 15 ∙ X₂ + 24 ∙ X₃ → min.

Полная математическая модель будет выглядеть следующим образом:

6 000 ∙ X₁+8 000 ∙ X₂ +11 000 ∙ X₃ = 12 000 000;

X₁ ≥ 100;

X₂ ≥ 200;

X₃ ≥ 300;

X_i ≥ 0, i = 1, 2, 3;

E = 12 ∙ X₁ + 15 ∙ X₂ + 24 ∙ X₃ → min.