Связь между числом радиальных Nξ и угловых Nθ отсчётов.

Пусть Н – диаметр объекта исследования.

Число отсчётов в проекции N_ξ равно:

Чтобы изображение имело одинаковое по всем направлениям разрешение, наивысшие пространственные частоты должны иметь одинаковый шаг дискретизации в радиальном и азимутальном направлениях в окрестности ρ₀ в Фурье-пространстве.

Число угловых отсчётов N_θ выбирается таким образом, чтобы оно было равно числу проекций в области углов 0 ≤ θ ≤ 180º.

Ш аг в радиальном направлении θ равен

Шаг в азимутальном направлении ρ равен

Приравняв интервалы между отсчётами в Фурье-пространстве в радиальном и азимутальном направлении при ρ = ρ₀, получим: , тогда

При равномерной выборке данных изображения угол проекции, выраженный в радианах, изменяется с шагом:

При числе отсчётов в проекции N_ξ = 253 ÷ 1024 интервал дискретизации по углу ΔΘ = 2/N_ξ = 0,45º ÷ 0,11º, а общее число отсчётов будет равно:

N_ξ×N_Θ = (1 ÷ 16)·10⁵.

Пример:

при Н = 420 мм и ширине щели коллиматора ω = 3мм (ω = 1/ρ₀) получим:

N_ξ ≥ 2 ρ₀Н = 2·0,33·420 = 277;

Δξ = ω/2 = 3/2 = 1,5 [мм]

N_Θ = (π/2)·N_ξ = 1.57·277 = 435

ΔΘ = π/N_Θ = 3.14/435 = 0.072 [рад] = 0,41º

N_ξ×N_Θ = 277·435 = 1,2·10⁵.

Эти данные примерно соответствуют параметрам серийных томографов.

Заключение

В основе большинства томографов лежит идея, состоя­щая в том, что внутреннюю структуру объекта можно представить получив ряд параллельных поперечных сечений. Поэтому главная задача РКТ состоит в получении двумерного (плоского) изображения поперечного сечения исследуемого объ­екта. Математически задача РКТ сводится к восстановлению функции нескольких (не менее двух) переменных по известным интегралам от нее вдоль некоторых многообразий (как правило, вдоль прямых). Хотя принципиально эта задача была решена И. Радоном в 1917 г., указавшим способ обращения интегрального преобразования, получившего его имя (преобразование Радона), значительные усилия большого числа исследователей были затрачены на разработку достаточно эффективных в вычислительном плане алгоритмов восстановления изображений и на преодоление трудностей, возникающих при исследовании реальных объектов. При использовании методов обращения преобразования Радона предполагается возможность наблюдения (зондирования) объекта во всех направлениях (в двумерном случае: круговая π -геометрия измерений в случае преобразования Радона и круговая 2π-геометрия измерений в случае экспоненциального преобразования Радона). Если это предположение не выполняется, возникает фундаментальная проблема реконструкции объекта по неполным проекционным данным, решению которой посвящено большое количество работ, но нерешённой до конца и к настоящему времени.

Список литературы

1. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. Т. 1. Физика атомного ядра. СПб. - М. - Краснодар, 2008.

2. Сизиков В.С., Устойчивые методы обработки результатов измерений. СПб.: Специальная литература, 1999.

3. Блинов Н.Н., Владимиров Л.В. Рентгенодиагностические аппараты. М.: Медицина, 1976.

4. Кравчук А.С. Основы компьютерной томографии. М., 1999.

5. Федоров Г.А. Физические основы интроскопии в радиационной медицине. М.: МИФИ, 2003.

6. Физика визуализации изображений в медицине. Т. 1 – 2/ Пер. с англ.; Под ред. С. Уэбба. М.:Мир, 1991.

7. Грузман И.С. Математические задачи компьютерной томографии: Новосибирский государственный технический университет, 2001.

8. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии.

9. Материалы Интернет - энциклопедии «Википедия».

23