4.2 Метод Фурье-синтеза

Рассмотрим другой метод обращения преобразования Радона, основанный на так называе-мой теореме о центральном сечении, устанавливающей связь между одномерным фурье-образом проекции p(ξ,θ) по переменной θ и двумерным фурье-образом искомого распределения µ(x,y). Запишем выражение для проекции (3.6) в полярных координатах

и найдем одномерный фурье-образ проекции по переменной ξ: (4.7)

Аналогично найдем двумерный Фурье-образ искомого распределения µ(x,y):

(4.8)

Очевидно, что, если мы заменим χ на ρ, а θ на ψ, то получим

(4.9)

Соотношение (4.9) является теоремой о центральном сечении, т.е. одномерный фурье-образ проекции, полученной при повороте системы "Источник-Детектор" на угол θ, является сечением двумерного фурье-образа искомого двумерного распределения по линии, проходящей через начало координат (центральным сечением) и повернутой на угол θ. Таким образом, из одномерных фурье-образов проекций можно набрать (синтезировать) двумерный фурье-образ искомого изображения, которое затем можно восстановить с помощью двумерного обратного преобразования Фурье.

Специфика метода фурье-синтеза заключается в том, что отсчёты фурье-образа M(ρ,ψ) искомой функции µ(x,y) находятся на полярной сетке (рис.4.2), а обратное преобразование Фурье необходимо выполнять на декартовой сетке с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ). Поэтому декартовы отсчёты M(u,v) находят путем интерполяции полярных отсчётов M(ρ,ψ). При этом используется, как правило, линейная интерполяция по ближайшим четырем отсчётам:

(4.10)

где Мд — декартов отсчёт; Мп1, ... , Мп4 — полярные отсчеты;

d1, ... , d4 — расстояния от декартова отсчёта до соответствующих полярных отсчётов.

Рис.8 Полярная и декартова сетки отсчётов.

Таким образом, метод фурье-синтеза включает в себя следующую последовательность действий:

( БПФ)1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (ОБПФ)2 ,

т.е. одномерное быстрое преобразование Фурье каждой проекции и формирование двумер-ного фурье-образа на полярной сетке, интерполяция отсчёта двумерного фурье-образа на полярной сетке для получения отсчетов на декартовой сетке, двумерное обратное быстрое преобразование Фурье для получения конечного изображения.

4.3 Метод одномерной фильтрации (метод фильтрованных обратных проекций).

Последовательность действий в данном методе:

1. Одномерная фильтрация каждой проекции;

2. Операция обратного проецирования, результатом которой является оценка искомого изображения.

Запишем выражение для отфильтрованной проекции f(ξ,θ) в следующем виде:

(4.11)

В этом выражении одномерная функция ядра свертки h₁(ξ) пока неизвестна и подлежит определению. На втором шаге мы должны произвести операцию обратного проецирования, т.е. согласно (4.1) найти обратную проекцию b(x,y,θ):

и получить суммарное изображение , которое и должно быть оценкой искомого распределения µ(x,y):

Подставляя выражение для обратной проекции (4.1) и для проекции (3.6), получим

(4.12)

теперь видно, что если бы выполнялось соотношение:

то мы получили бы тождество. Таким образом, последнее соотношение является определением для функции ядра h₁(ξ). Запишем выражение для h₁(ξ) через обратное одномерное преобразование Фурье от H₁(χ), а для двумерной δ-функции δ(x)δ(y)- через обратное двумерное преобразование Фурье.

Подставим эти выражения в тождество и наложим на искомую функцию условие чётности.

Получим функцию ядра в Фурье-пространстве:

(4.13)

 Тогда, используя аподизирующую функцию, h₁(ξ) в координатном пространстве запишем в интегральном представлении:

Далее используя аподизирующую функцию A₁(χ):

A₁(χ)= 1 при

0 при , получим выражение для функции ядра h₁(ξ):

(4.14)

Теперь найдем дискретное представление фильтра. Дискретным значениям  , соответствуют дискретные отсчёты  . По теореме Котельникова для предотвращения потери информации мы должны снимать отсчёты с дискретностью  . Следовательно,

(4.15)