3. Математические основы метода

3.1 Схема Хаунсфилда и Мак-Кормака. Постановка основной задачи

У

Рис.5 Схема, предложенная и реализованная впервые Хаунсфилдом и Мак-Кормаком

Источник остронаправленного рентгеновского излучения (в виде узкого пучка) перемещается вдоль направляющего отрезка АА', приемник — вдоль отрезка ВВ'. Излучатель и детектор перемещаются синхронно, съем информации — интенсивность излучения на выходе излучателя и на входе детектора производится с некоторым заранее заданным шагом. Логарифм отношения интенсивности на входе детектора к начальной называется проекцией.

Направляющие отрезки АА', ВВ' закреплены на общей раме, которая может вращаться около неподвижной оси О. Для каждого положения ра­мы измеряется набор проекций, соответствующих набору параллельных лучей; этот набор иногда называют сканом.

Для восстановления внутренней структуры просвечиваемого объек­та необходимо будет — как показано ниже — иметь множество сканов для всевозможных положений рамы; фактически съем информации про­изводится для дискретного набора углов поворота с некоторым шагом АО.

Время, затрачиваемое такой системой для сбора информации, необ­ходимой для построения изображения, оказывается равным нескольким (4-5) минутам, поэтому дальнейшее развитие метода было направлено на уменьшение времени измерений путем увеличения количества детек­торов, использования веера лучей вместо одного луча и т.д.

Численные алгоритмы восстановления структуры (формирования изображений) для усложненных схем сбора информации усложняются, однако все они могут быть получены из алгоритмов, развитых для обра­ботки информации, формируемой в схеме параллельных лучей. По этой причине ниже будет рассмотрена только схема просвечивания пучком параллельных лучей.

Введем полезные для дальнейшего определения, обозначения и гипоте­зы. Предположим, что поперечные размеры рентгеновского луча исчезающе малы и что можно пренебречь влиянием рассеянного излучения. То­гда луч можно характеризовать его интенсивностью I(x) в данной точке х на луче. Ясно, что фактически речь идет о суммарной интенсивности по поперечному сечению. Изме­нение интенсивности I(x) вдоль луча будет определяться только коэф­фициентом линейного поглощения µ(x) в соответствии с формулой Бера.

Н азовем структурой объекта распределение µ(x) по заданному плос­кому сечению, по которому производится сканирование. Выберем в плос­кости сканирования неподвижную (лабораторную) декартову систему отсчета Оху с центром О на оси вращения системы (рис.6). С подвижной (вращающейся) рамой свяжем подвижную декартову систему отсчета Оζξ, ось Оζ которой направлена от излучателя к приемнику вдоль центрального (проходящего через ось вращения) луча. Ось Оξ на­правлена так, как показано на рис.6. Положение подвижной системы относительно неподвижной определяется углом θ, так что

Рис.6

(3.1)

Тогда µ(x,y) в системе координат Oξζ, повёрнутой на угол θ будет:

В частности

В соответствии с формулой (2.3) будем иметь :

(3.2)

где: µ[x,y] - коэффициент линейного поглощения, µ берется на луче, текущее положение которого в данном случае определяется углом θ и расстоянием ξ текущего луча от центрального (см. рис. 3.2);

I₀ - значение интенсивности рентгеновского излучения на выходе излучателя;

2R - путь, проходимый лучом.

Ниже будем предполагать, что вне исследуемого объекта (в воздухе) µ = 0, следовательно, интеграл в формуле (3.2) берется только по отрезку внутри тела пациента, однако, очевидно, что пределы в этом интеграле можно считать бесконечными, что и будет использовано в дальнейшем.

Уточним введенное выше определение проекции: назовем проекцией р(ξ,θ) следующий интеграл:

(3.3)

Отношение I(ξ,θ)/I₀ называется прозрачностью и может принимать значение от 0( среда совершенно непрозрачна) до 1( среда прозрачна). Выражение (3.3) называется преобразованием Радона. Записав его немного иначе получаем уравнение Радона:

(3.4)

Основная задача РКТ заключа­ется в том, чтобы выразить величину µ(x,y) через набор проекций p(ξ,θ).

Коэффициент линейного поглощения µ(x,y) характе­ризует внутреннюю структуру исследуемого объекта, набор проекций известен по результатам измерений вне объекта (имеет место «неразрушающий» контроль). Поэтому основную задачу КТ иногда называют задачей реконструкции структуры или реконструкции изображений.