2. Моделирование временного ряда длительности

Случайным образом выбираются первые элементов последовательности. Для моделирования элементов с нечетными номерами выбирается шаблон . Рассматривается -предыстория элемента. Распределениями вероятностей исхода для данных элементов являются строки матрицы , соответствующие состояниям предыдущих элементов

В частности, если предыстория элемента имеет вид

,

то при

Элементы с четными номерами моделируются аналогичным образом с использованием шаблона

На каждом шаге моделирование происходит с помощью генератора псевдослучайных чисел, работающего по следующему алгоритму:

1. Генерируется число в диапазоне .

2. 

В результате имеется временной ряд , где пространство состояний – конечное множество мощности .

3. Построение оценок максимального правдоподобия и

Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

Задача на условный экстремум:

Поиск условной оценки максимального правдоподобия матрицы одношаговых переходов ищется путем приравнивания к нулю компонент градиента логарифмической функции правдоподобия:

Используя тот факт, что матрица стохастическая,

, условная оценка полностью определяется шаблоном

Для вычисления оценки шаблона при известном истинном значении числа связей можно воспользоваться алгоритмом полного перебора значений логарифмической функции правдоподобия.

В частности, при имеется следующая система уравнений:

где частота выпадения при предыстории .

Условной оценкой максимального правдоподобия является решение данной системы:

.

Логарифмическая функция правдоподобия перепишется в следующей форме:

Оценка максимального правдоподобия ищется путем перебора вариантов шаблонов. Производится подсчет частот при всевозможных вариантах пар шаблонов и выбирается та пара, которая максимизирует логарифмическую функцию правдоподобия. Таким образом:

Оценка максимального правдоподобия матрицы имеет вид:

4. Результаты экспериментов

Экспериментальные оценки параметров построены при следующих входных данных:

Рис. 1. Зависимость числа ошибок распознавания истинного шаблона при 100 экспериментах от

При :

При :

При :

При :

5. Вывод

Результаты показывают состоятельность оценки при истинном шаблоне и . Также очевидна состоятельность оценки шаблона при .

Таким образом, для более точного распознавания матрицы одношаговых переходов и шаблона требуется наблюдать реализацию как можно большей длительности .

Заключение

В данной работе исследованы вероятностные характеристики модели цепи Маркова с частичными связями и переменным шаблоном, реализована компьютерная модель ЦМ с переменным шаблоном. Построены статистические оценки параметров модели при известной функции шаблона , периодически изменяющемся, но неизвестном шаблоне. Исследована состоятельность данных оценок.

Результаты экспериментов показали, что для более точного распознавания матрицы одношаговых переходов и шаблона требуется наблюдать реализацию как можно большей длительности .