Цепь Маркова с частичными связями цм
Пусть
– однородная ЦМ(
),
заданная на вероятностном пространстве
(
)
с некоторой (
)-мерной
матрицей вероятностных переходов
Рассмотрим
– параметр, который называется числом
связей;
– произвольный целочисленный
-вектор
с упорядоченными компонентами:
Этот
вектор называется шаблоном связей,
– множество всевозможных таких векторов
с
компонентами, мощность
– некоторая
-мерная
стохастическая матрица.
Определение.
Цепь
Маркова
называется цепью Маркова
-го
порядка с
-частичными
связями и обозначается ЦМ(
),
если ее вероятности одношаговых переходов
имеют вид:
Это
означает, что вероятность перехода
процесса в состояние
в момент времени
зависит не от всех
значений предыдущих состояний процесса,
а лишь от некоторых
избранных состояний
.
В
данном случае, вместо
параметров ЦМ(
)
данная модель полностью определяется
параметрами
,
что играет существенную роль на практике.
Замечание.
Если
,
,
то
и ЦМ(
)
представляет из себя цепь Маркова
порядка
,
то есть ЦМ(
ЦМ
.
В дальнейшем будем рассматривать однородную цепь Маркова с частичными связями.
Следует отметить, что -мерное распределение вероятностей для данной модели имеет следующий вид:
Возникает проблема исследования свойств такой модели цепи Маркова, в которой шаблон зависел бы от какой-либо функции. Данное свойство помогло бы сделать распознавание шаблона для злоумышленника более проблематичным, что сыграло бы важную роль в криптостойкости модели.
Цепь Маркова с частичными связями и переменным шаблоном цм
Пусть
– однородная ЦМ(
),
заданная на вероятностном пространстве
(
),
определенная ранее. Рассмотрим обобщение
данной модели, когда шаблон
зависит
от времени
:
причем:
В
общем случае шаблон зависит от некоторой
функции, определяющей его изменение.
Простейшая модель такой зависимости –
периодическая функция с некоторым
периодом
:
.
В
частности, при
имеются два различных шаблона
и
которые циклично повторяются:
Для данного частного случая -мерное распределение вероятностей имеет вид:
При произвольной модели зависимости шаблона от времени имеем общую формулу:
Использование
такой модели цепи Маркова позволяет
сделать выборку для злоумышленника как
можно более случайной, что сильно влияет
на криптостойкость модели, так как
появляются сложности с распознаванием
зависимости и поиском используемого
шаблона. Полезно исследование такой
модели ЦМ
,
в которой шаблон периодически изменяется,
но неизвестен.
Далее рассмотрим задачу статистической оценки параметров модели ЦМ при известном шаблоне и поиска свойств оценок.