2. Достаточные условия экстремума функции

Теорема Ферма определяет необходимое условие экстремума функции. В точке экстремума функции производная функции или не существует или равна 0. В школе мы познакомились с одним из достаточных условий экстремума.

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума 1) Пусть для функции и точки существует число такое, что функция непрерывна на множестве и имеет производную на интервалах и . При этом, если при и при , то точка является точкой максимума функции . Если при и при , то точка является точкой минимума функции .

Смыл теоремы следующий. Если производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку, то эта является точкой экстремума. Если знак производной меняется с «+» на «-», то эта точка экстремума является точкой максимума. Если знак производной меняется с «-» на «+», то эта точка экстремума является точкой минимума.

Доказательство. Применим формулу Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа и получим, что приращение функции имеет один и тот же знак, т. к. при переходе через точку в приращении функции меняют знак оба множителя и . То есть с одной стороны от точки большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а с другой стороны от этой точки большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это и гарантирует экстремум функции в точке . Теорема доказана.

Теорема 3. (Достаточное условие экстремума 2) Пусть производная функции равна 0 в точке ( ) и существует вторая производная функция ( ), непрерывная в некоторой окрестности точки . Тогда, если точке , то точка является точкой экстремума функции . Если при этом , то точка является точкой минимума функции , если же при этом , то точка является точкой максимума функции .

Доказательство. Применим формулу Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа и получим, что приращение функции . Мы видим, что приращения функции принимают значения одного знака при любых приращениях аргумента, что гарантирует экстремум функции в точке . При этом, если , то, в силу непрерывности, вторая производная остается положительной в окрестности точки и эта точка является точкой минимума функции . Если же при этом , то, соответственно, точка является точкой максимума функции . Теорема доказана.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Те точки максимума, минимума, которые мы рассматривали в предыдущем пункте, называют еще точками локального максимума, минимума и локального экстремума. Также говорят о точках глобального экстремума, т. е. о точках наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.

Отметим, что в точках экстремума функция не обязательно дифференцируема.

Мы знаем, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. А в каких точках это происходит. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4. (Глобальный экстремум на отрезке) Функция непрерывная на отрезке, достигает свое наибольшее и наименьшее значения на отрезке либо на границе этого отрезка, либо в точке экстремума.

Доказательство. Пусть функция непрерывна на отрезке . Для доказательства теоремы достаточно заметить, что точка из интервала , в которой достигается наибольшее или наименьшее значения, автоматически является и точкой локального экстремума. Теорема доказана.