МАТЕМАТИКА, семестр 1

Лекция 18 Исследование функции и построение ее графика

План лекции

Остаточный член в формуле Тейлора. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на заданном отрезке. Направления выпуклости и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Напомним важнейшие разложения функций по формуле Тейлора (Маклорена) из прошлой лекции:

, (7) , (8)

, (9) . (12)

Формула (9) может быть получена непосредственно и из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей.

И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.

Пример 1(6). Напишите формулу Тейлора для функции в точке (формулу Маклорена для функции ).

Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент на аргумент . Учитывая, что , мы приходим к искомой формуле . (10)

Сопоставляя формулы (7), (8), (9), (10), мы приходим к формуле Эйлера , (11) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом стремятся к 0 при всех значениях аргумента.

Пример 2(7). Напишите формулу Тейлора для функции в точке (формулу Маклорена для функции ).

Решение. Если , то , , , , …, ( ). Следовательно, искомая формула принимает вид . (12)

0. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.

Теорема 1(5). (Теорема Лагранжа) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (13)

Теорема 2(6). (Теорема Коши) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (14)

Теорема 3(5). (Теорема Пеано) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение , (15)

Так как производные функции равны между собой и ограничены на любом фиксированном отрезке , то остаточный член в формуле стремится к нулю при для каждого фиксированного .

Тем более то же самое справедливо для функций и , так как производные этих функций не превосходят по модулю 1. В формулах и остаточный член стремится к нулю при для каждого .

Можно доказать, что в формуле остаточный член стремится к нулю при для каждого . Посмотрите, как выглядит эта формула при .

1. Условия монотонности функции

Мы приступаем к более сложным вопросам исследования функции и построения ее графика. Конечно, все начинается определения и множества значений функции . Также мы уже обсуждали вопросы четности, нечетности и периодичности функции. Теперь мы приступаем к изучению вопросов, связанных в основном с использованием в анализе свойств функции ее производных.

Если большему значению аргумента на множестве соответствует большее значение функции, то такая функция называется, как мы помним, монотонно возрастающей на этом множестве. Аналогично вводятся понятия других монотонных функций: убывающей, неубывающей, невозрастающей.

Как определить монотонность функции на данном промежутке? Мы знаем, что если производная функции положительна в точке, то она возрастает в некоторой окрестности этой точки. Отсюда следует, что если производная функции положительна на интервале, то функция является возрастающей на этом интервале. А как быть с граничными точками отрезка, как быть с теми точками, в которых производная функции равна 0 или не существует?

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале во всех точках, за исключением конечного числа точек, в которых производная равна 0 или не существует. Тогда, если производная положительна во всех точках, где она существует, то функция возрастает на отрезке , а если производная отрицательна во всех точках, где она существует, то функция убывает на отрезке ,

Доказательство. Разобьем отрезок на имеющие не более одной общей точки отрезки, во внутренних точках каждого из которых производная (для определенности) положительна. Следовательно, в силу непрерывности на всем отрезке выполнено условие: большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Теорема доказана.