Скорость и ускорение точки
Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора r, определяющего ее положение в пространстве. Скорость точки характеризует изменение ее положения во времени
(1*)
где i, j, k — орты осей x, у, z. Проекции скорости на оси неподвижных декартовых координат равны
(2*)
Модуль скорости дается формулой
(3*)
Направление скорости определяется направляющими косинусами:
(4*)
Скорость направлена по касательной к траектории.
Ускорение точки есть производная от скорости но времени или вторая производная от радиуса-вектора г по времени. Ускорение точки является мерой, характеризующей быстроту изменения скорости:
(5*)
Проекции ускорения на неподвижные декартовы оси координат равны
(6*)
Модуль ускорения вычисляется по формуле
(7*)
Направление ускорения определяется направляющими косинусами:
(8*)
Если уравнение движения задано в естественной форме, то скорость точки равна
(9*)
Где
—
орт касательной, направленный в сторону
увеличения
;
—
проекция скорости на касательную, равная
(10*)
Если
,
то точка движется в сторону увеличивающихся
значений
.
Если
,
то точка движется в противоположную
сторону, в направлении уменьшающихся
значений
.
Ускорение в этом случае определяется через проекции па естественные оси координат. Естественными осями координат, или натуральным триэдром траектории, называется ортогональная (прямоугольная) система координат, состоящая из oceй: а) касательной, направленной в сторону возрастания дуговой координаты, б) главной нормали, направленной в сторону погнутости траектории, и в) бинормали, направленной так, чтобы три оси составляли правую систему координат (рис. 3.5).
П
лоскость,
в которой расположены касательная и
главная нормаль, называется соприкасающейся,
или плоскостью крипизны в данной точке
кривой. Плоскость, в которой лежат
главная нормаль и бинормаль, называется
нормальной плоскостью. Нормальная
плоскость перпендикулярна к соприкасающейся
плоскости. Плоскость, перпендикулярная
к главной нормали, называется спрямляющей
плоскостью. Если кривая плоская, то
соприкасающаяся плоскость совпадает
с плоскостью кривой. При переходе от
одной точки траектории к другой
естественные оси, оставаясь между собой
ортогональными, непрерывно поворачиваются,
сопровождая движущуюся точку. Ускорение
точки лежит в соприкасающейся плоскости
и определяется как векторная сумма
касательного и нормального ускорений
точки:
(11*)
Проекция ускорения на касательную дается формулой
(12*)
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно обращается в нуль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Величина нормального ускорения определяется формулой
(13*)
где
—радиус
кривизны траектории. Нормальное ускорение
характеризует изменение скорости по
направлению. Оно равно пулю при
прямолинейном движении точки, а также
в точках перегиба траектории, так как
в обоих случаях радиус кривизны обращается
в бесконечность. Кроме того, нормальное
ускорение обращается в нуль в точках,
где v = 0. Модуль ускорения вычисляется
при помощи формулы
(14*)
Направление ускорения определяется направляющими косинусами:
(15*)
Важными частными случаями движения являются равномернее и равнопеременное движения. При равномерном движении величина скорости постоянна. Уравнение равномерного движения
(16*)
где
—
дуговая координата точки, отсчитываемая
от начала координат, а
—
значение дуговой координаты при t
= 0. При равнопеременном движении
касательное ускорение точки постоянно
по величине. Уравнение равнопеременного
движения будет:
(17*)
Зависимость скорости от времени в равнопеременном движении определяется уравнением
(18*)
Если
,
то движение, определяемое уравнениями
(17*) и (18*), является равноускоренным, если
же
,
то это движение равнозамедленное (при
).
Вообще при ускоренном движении касательное
ускорение совпадает по знаку с проекцией
скорости на касательную. При замедленном
движении касательное ускорение и
проекция скорости на касательную имеют
противоположные знаки. Зависимость
между скоростью и пройденным путем при
равнопеременном движении определяется
формулой Галилея
Часто в задачах требуется найти радиус кривизны траектории. Радиус кривизны траектории может быть определен из формулы (13*)
(19*)
Если уравнения движения заданы в декартовых координатах, то при помощи формул (3*) и (7*) следует найти величину скорости и ускорения точки, затем найти значение касательного ускорения по формуле (12*). Тогда из соотношения (14*) определяются нормальное ускорение и, далее, при помощи (19*) радиус кривизны траектории. При движении точки по плоской кривой радиус кривизны траектории и нормальное ускорение точки могут быть определены другим способом, нашедшим в последнее время широкое применение в инженерной практике.
Обозначим угол,
составленный касательной к траектории
(или, что то же, скоростью) с некоторым
неизменным направлением, буквой
(рис. 3.0). Тогда радиус кривизны равен
(20*)
где
и, следовательно, величина нормального
ускорения равна
(21*)
В этом параграфе решаются задачи на определение скорости, ускорения точки, нахождение радиуса кривизны траектории по известным уравнениям движения точки. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения сводится к дифференцированию уравнений движения и может быть всегда выполнено как при аналитическом, так и при графическом задании Движения точки. Одновременно могут быть получены другие данные, характеризующие движение точки: ее положение в любой момент времени, наибольшее и наименьшее значения скорости и ускорения и т. Д.
П
ри
решении задач на определение скоростей
и ускорений полезно придерживаться
следующего порядка:
1) выбрать систему координат;
2) составить уравнения движения точки в избранной системе координат;
3) по уравнениям движения точки определить проекции скорости на оси координат и скорость по величине и направлению;
4) зная проекции скорости, определить проекции ускорения на оси координат и ускорение по величине и направлению. Если траектория точки задана по условию задачи, то целесообразно применить естественную форму уравнений движения и искать ускорение точки через проекции на оси натурального триэдра. В этом параграфе решаются также задачи на определение уравнений движения точки и ее траектории, если известно ее ускорение. При решении задач на определение уравнений движения точки и ее траектории рекомендуется такая последовательность действий:
1) выбрать систему координат;
2) составить проекции ускорения на эти оси;
3) проинтегрировать полученные зависимости и найти проекции скорости;
4) в найденных выражениях определить произвольные постоянные интегрирования, пользуясь известными значениями проекций скорости в некоторый момент времени;
5) проинтегрировать полученные зависимости для проекций скорости и получить уравнения движения точки;
6) определить произвольные постоянные интегрирования, пользуясь значениями координат точки r некоторый момент времени;
7) исключив из уравнении движения время, получить уравнение траектории в координатной форме.