1.3.7. Сумма (суперпозиция) распределений

Чтобы получить теоретическое распределение, близкое к экспериментальному, иногда применяют следующий прием. Плотность распределения наработки до отказа считается равной сумме:

,

где f₁(t), f₂(t), – теоретические распределения определенного вида; с₁, с₂ – коэффициенты веса, учитывающие влияние различных слагаемых: с₁+ с₂ =1.

Рассмотрим в качестве примера сумму (суперпозицию) двух показательных распределений:

Для этого случая имеем

Соответствующий график λ(t) приведен на рис. 11

Рис. 11. График λ(t) для суммы (суперпозиции) двух показательных распределений

Средняя наработка до отказа

Пусть для определенности λ₂ > λ₁. Тогда для очень больших t → ∞ члены, содержащие малы и λ( t) → λ₁. При малых t значения и близки к единице и

1.3.8. О выборе типа теоретического распределения наработки до отказа

В настоящее время нет определенного физического объяснения происхождения применяемых распределений наработки до отказа.

Во многих случаях за время эксплуатации или испытаний на надежность успевает отказать лишь незначительная часть первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует левая ветвь экспериментального распределения. Поэтому значения числовых характеристик, найденные в результате обработки опытных данных, сильно зависят от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Например, при различных предположениях о виде распределения наработки до отказа значения средней наработки до отказа объектов, вычисленные по одним и тем же опытным данным, могут отличаться в сотни раз.

Для выбора типа теоретического распределения наработки до отказа целесообразно использовать информацию об изменениях в объектах перед возникновением отказов. Для этого необходимо знать, в результате каких физических процессов появляется соответствующее распределение. Иначе говоря, выбранному теоретическому распределению наработки до отказа должна соответствовать определенная модель приближения объекта к отказу. Желательно, чтобы эти модели были физическими, т. е. обобщали основные особенности физических процессов приближения к отказам (а также допускали возможность воспроизведения этих процессов в лаборатории).

Такую оговорку приходится делать потому, что в последние годы при рассмотрении математических вопросов надежности используют модели, которые условно можно назвать вероятностными. Например, может вводиться предположение о вероятности отказа отдельных частей объектов, а не об изменении физических параметров. Существуют и другие вероятностные модели развития отказов. Эти модели нисколько не облегчают выбор типа теоретического распределения наработки до отказа. Для осуществления такого выбора необходимы сведения о физических процессах приближения к отказам.

Глава 2. Методы расчета надежности систем различных типов

2.1. Расчеты надежности неремонтируемых систем по последовательно-параллельным логическим схемам

При этом методе структура системы изображается в виде специальной логической схемы, характеризующей состояние (работоспособное или неработоспособное) системы в зависимости от состояний отдельных элементов. На логических схемах обычно применяют три способа соединений элементов:

1. последовательное (основное) соединение соответствует случаю, когда при отказе элемента отказывает вся система; наработка до отказа системы равна наработке до отказа того элемента, у которого она оказалась минимальной:

T_c = min(T_j ), j = 1, 2 …, n,

где n – число элементов системы;

2. параллельное нагруженное соединение соответствует случаю, когда система сохраняет работоспособность, пока работоспособен хотя бы один элемент из k включенных в работу; наработка до отказа системы равна максимальному из значений наработки до отказа элементов:

T_c = max(T_j ), j = 1, 2 …, n;

3. параллельное ненагруженное соединение соответствует случаю, когда при отказе элемента включается в работу очередной резервный элемент и таким путем система сохраняет работоспособность; наработка до отказа системы равна сумме наработок до отказа элементов. На рис. 10 приведены обозначения трех видов соединений на логических схемах для расчета надежности.

Рис. 10.Три вида соединений на логических схемах для расчета надежности: а – последовательное (основное); б – параллельное нагруженное; в – параллельное ненагруженное.

После составления логической схемы находят и уточняют значения показателей надежности элементов и затем вычисляют значение показателя надежности системы. Рассмотрим содержание каждой из этих операций.