Цилиндрические винтовые пружины малого шага

Цилиндрические пружины характеризуются средним диаметром витка D, числом рабочих витков n, углом подъема витков , шагом пружины h, а также индексом пружины c=D/d (см. рисунок 2).

Рабочими являются витки, испытывающие деформацию под нагрузкой. Для пружин сжатия крайние (опорные) витки практически не участвуют в работе пружины и не влияют на ее упругие характеристики (количество опорных витков 1,0…1,5).

Наибольшее распространение в технике имеют пружины с небольшим углом подъема винтовой линии (<5⁰), называемые пружинами малого шага. При <12⁰ напряженное состояние материала витков приближается к чистому сдвигу.

В расчётах пружин малого шага пренебрегают подъемом витков и считают длину витков равной D, а сам виток - расположенным в плоскости, нормальной к оси пружины.

Для получения расчетных соотношений примéним метод сечений и разделим пружину осевым сечением на две части, рассматривая равновесие одной из частей пружины.

Из уравнения равновесия для оставшейся части следует, что внутренние касательные силы упругости в сечении приводятся к перерезывающей силе Q=F и крутящему моменту T=FD/2. В свою очередь, параметры Q и T являются равнодействующими элементарных внутренних усилий в сечении и определяются через касательные напряжения по известным формулам

Рисунок 2 – Цилиндрическая пружина сжатия

Внутренние силовые факторы Q и T имеют наглядный физический смысл, определяемый видом деформации материала прутка: перерезывающей силе Q соответствует сдвиг (срез), а крутящему моменту T – чистый сдвиг при кручении прутка. Таким образом, действие нагрузки уравновешивается внутренними силовыми факторами Q и T, определяющими развитие деформации сдвига, а сдвиг является основной формой деформации в материале пружины. При этом касательные напряжения, вызванные кручением, достигают максимума в контурных точках сечения прутка, а напряжения от перерезывающей силы считаются равномерно распределёнными по площади сечения.

Рисунок 3 – Внутренние силовые факторы в пружине

В точке «B» (рисунок 4) контура (на внутренней поверхности пружины) касательные напряжения от кручения и среза суммируются, так что максимальная величина

.

Обычно для пружин с малым шагом витка отношение d/(2D) мало по сравнению с единицей, поэтому основным видом деформации для пружины является чистый сдвиг при кручении, а срезом можно пренебречь. В результате формула для касательных напряжений принимает вид

а условие прочности для пружин

.

Рисунок 4 – Напряжения в сечении пружины

Влияние кривизны оси витка учитывают с помощью коэффициента формы k, зависящего от индекса пружины c=D/d. Формула для расчёта напряжений с учётом коэффициента k

Для значений =6…12⁰ коэффициент k достаточно точно выражается с помощью следующей зависимости

Чаще всего индекс пружины имеет значения в пределах c=8…12, чему соответствуют значения k=1,1…1,2. Из формулы для напряжений следует, что развиваемая пружиной сила

.

Изменение продольного размера (осадку) пружины  под нагрузкой определяют с помощью энергетического анализа, приравнивая работу статически прикладываемой силы W=F /2 потенциальной энергии

деформации пружины U=T²l/(2GJ_р). В итоге получают следующую формулу

Здесь G - модуль упругости при сдвиге (модуль сдвига), имеющий размерность напряжения, является механической характеристикой материала пружины. Он характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига. Численное значение G для материала получают экспериментальным путём (для пружинных сталей приближенно G~80 ГПа). Величина GJ_p носит название жёсткости прутка при кручении, J_p - полярный момент инерции сечения прутка относительно центра тяжести.

Между упругими постоянными материала (модулем Юнга E, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона ) существует следующая взаимосвязь

При среднем значении коэффициента Пуассона для стали 0,3 отсюда следует соотношение G0,4E.

Для пружин сжатия приведённые формулы справедливы лишь до полного сжатия пружины, то есть до соприкосновения её витков. После полного сжатия пружина начинает работать на осевое сжатие как прямой пустотелый брус.

С учётом коэффициента k осевое перемещение торцов

Таким образом, теория устанавливает линейную зависимость между действующей силой F и деформацией 

,

где угловой коэффициент зависимости, называемый жёсткостью пружины, прямо пропорционален модулю сдвига

Жесткость численно равна усилию F, при котором абсолютная деформация  пружины равна единице и имеет размерность единицы силы, отнесенной к единицы длины.

Приведённые формулы содержат одну механическую характеристику материала - модуль сдвига G, входящий в угловой коэффициент линейной зависимости F().

Построение опытной зависимости в достаточно широком диапазоне изменения продольной нагрузки на пружину с целью сравнения данных опыта и теории, расчёта коэффициента жёсткости (a) и определения величины модуля сдвига G выполняется посредством монотонного ступенчатого нагружения пружины с фиксацией соответствующих значений F_i и _i и рассмотрения этих данных в соответствующей системе координат.