9. Исследовать функцию и построить ее график.

 

•         ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.

•         Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.

•         Определим точку пересечения с осью оХ: , откуда и х = 1.

•         Дифференцируем:

•         Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х=е.

•                 Выберем второе достаточное условие.

Вторая производная: .

Тогда, т.е. точка х = е является точкой максимума и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.

 

 

 

 

•         Определим выпуклости заданной функции.Стационарные значения второй производной , откуда х = е^1,5. Таким образом, точка х=е^1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината у_пер.=...= .

•         Проверим горизонтальную асимптоту:

, следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Правило Лопиталя.

2. Возрастание и убывание функций.

3. Необходимое условие экстремума.

4. Первое достаточное условие экстремума.

5. Второе достаточное условие экстремума.

6. Глобальные экстремумы.

7. Выпуклость и вогнутость функции.

8. Асимптоты.

9. Общая схема исследования функции и построение графиков.

 

Тренировочные задачи

 

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1.

Ответ: 1,25

2.

Ответ: 0

3. Определить экстремумы функции у=4х³ +3х² – 2х + 8.

Ответ:

4. Определить выпуклости функции .

5. Построить график функции с применением производной.