§ 3. Сравнение бесконечно малых
И БЕСКОНЕЧН БОЛЬШИХ.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСОНЕЧНО МАЛЫЕ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ.
ВЫДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ.
ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.
Пусть и – бесконечно малые при .
Если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка;
если
,
то
и называются бесконечно
малой высшего порядка по сравнению с
бесконечно малой
,
что обозначается
(читается: «
равна o
малому от
»);
если
не существует, то бесконечно малые
и
называются несравнимыми.
В
частном случае, когда
,
бесконечно малые
и
называются эквивалентными,
.
Если
,
то бесконечно малую
можно представить в виде
.
Для эквивалентных бесконечно малых
выполняется свойство транзитивности,
т.е. если
,
а
,
то
.
Для
более точного сравнения бесконечно
малых функций
и
при
а в том случае, когда
,
т.е.
– бесконечно малая более высокого
порядка, чем
,
одна из них, например
,
сравнивается с различными функциями
вида
.
Если для некоторого значения k
оказывается, что
,
то функция
называется бесконечно
малой k-го
порядка относительно
,
а функция
,
эквивалентная функции
,
называется главной
частью функции
,
.
Часто
для количественной оценки малости
функции функций
при
в качестве эталонов берутся функции
при
,
причем k
принимает любые вещественные значения.
Такой набор эталонов простейшего вида
образует как бы шкалу, удобную для
сравнения бесконечно малых при (
).
Если
,
то такую шкалу образуют эталоны сравнения
вида
.
В общем случае в качестве эталонов
сравнения выбирается некоторое множество
функций
,
определенных на некотором интервале,
примыкающем к точке a,
и таких, что
,
если
.
Для
эквивалентных бесконечно малых
справедлива теорема: если
и
— бесконечно малые при
и
,
,
а
,
то
и
;
(1)
и
;
(2)
.
(3)
Наличие
набора эквивалентных бесконечно малых
часто значительно упрощает вычисление
пределов при раскрытии неопределенностей.
Так, при
,
(
,
(
,
(
,
(
,
(
,
,
(
,
(
,
(
.
(
Аналогичные
понятия вводятся для бесконечно больших
функций
и
при
:
если
,
то они называются бесконечно
большими одного порядка;
если
,
то функция
называется бесконечно
большой высшего порядка по сравнению
с функцией
;
если
не существует, то функции
и
называют несравнимыми
бесконечно большими.
Эквивалентные бесконечно большие определяются точно так же, как эквивалентные, как эквивалентные бесконечно малые, т.е. , если .
Если , то бесконечно большая называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой , а функция , эквивалентная функции , называется главной частью функции .
Простейшие
примеры эквивалентных бесконечно
больших получаются из рассмотрения
многочлена
:
при
,
,
.
(4)
Для эквивалентных бесконечно больших справедливы соотношения (1)–(3).
Применение
эталонов сравнения – источник приближенных
формул. Если, например, функция
при
имеет главную часть
,
где
– постоянная, то
.
Выделяя из функции
главную часть
,
получаем более точную формулу:
.
Этот процесс можно продолжить. Если в
результате приходят к формуле вида
то
говорят, что функция
обладает разложением порядка n
относительно эталонов
.
Пренебрегая слагаемым
,
получаем приближенное выражение для
функции
при x,
достаточно близких к a.
Пример
1.
Сравнить функции: 1)
и x
при
;
2)
и
при
;
3)
и
при
.
Решение.
Данные функции при
бесконечно малые. Составим их отношение
и высчитаем его предел при
:
Следовательно, данные функции одного порядка малости.
2) При функции бесконечно малые и
следовательно,
функция
есть бесконечно малая высшего порядка
по сравнению с
.
А так как
, то
есть бесконечно малая второго порядка
относительно
.
3) При и бесконечно большие одного порядка.
Пример
2.
Сравнить функции
и
при
.
Решение.
Поскольку
,
то, учитывая, что
(см. соотношение
),
имеем
.
Так
как
(см. соотношение
),
а
при
,
имеем
.
Тогда, используя соотношение (2), получаем, что
Следовательно, данные функции одного порядка малости, более того – эквивалентны.
Пример
3.
Сравнить функции
и
при
.
Решение.
Из равенства
следует, что
при
(
при
).
С другой стороны,
при
;
следовательно,
,
т.е.
есть бесконечно большая порядка 3/2
относительно бесконечно большой
.
Пример
4.
Выделить главную часть функции
при: 1)
;
2) при
.
Решение.
При малых x
поведение функции
будет определять то слагаемое, которое
стоит в низшей степени. Поэтому вынесем
за скобки малых x
в первой степени:
.
Выражение в скобках
при
,
следовательно, согласно соотношению
(3)
,
и имеет место равенство
при
,
где
– главная часть функции
,
а
– бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
2)
Заметим, что
;
следовательно, функция
есть бесконечно малая в точке
.
В результате деления получим
.
Поскольку
при
,
то
и
является главной частью функции
при
,
и имеет место равенство
при
– бесконечно малая более высокого
порядка, чем
при
.
Пример
5.
Выделить главную часть функции
при
.
Решение.
Используем эквивалентное соотношение
,
роль бесконечно малой
здесь играет
при
:
так
как
при
.
Итак,
при
.
Пример
6.
Выделить главную часть функции
при
.
Решение.
Выражение, стоящее под знаком корня,
стремится к единице, поэтому его можно
представить в виде суммы двух слагаемых
– единица плюс бесконечно малая:
,
тогда
при
,
так как
при
.
Итак,
.
как при . Итак, при .
Пример
7.
Выделить главную часть функции
при
.
Решение.
Выражение, стоящее под знаком логарифма,
стремится к единице при
,
поэтому его можно представить в виде
суммы единицы и бесконечно малой, причем
роль бесконечно малой играет
.
Тогда (см. соотношение
)
при
.
Следовательно,
при
.
Пример
8.
Выделить главную часть функции
при
.
Решение.
Так как выражение стоящее под знаком
логарифма, стремится к единице при
,
то его можно представить следующим
образом:
,
где
– бесконечно малая при
По формуле
и соотношению (3) получим
при
,
отсюда
,
где
– бесконечно малая более высокого
порядка, по сравнению с
при
,
т.е.
.
Пример
9.
Выделить главную часть функции
при
.
Решение.
Так как дробь
при
,
то представим ее в следующем виде:
