Глава I

МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

§1. Понятие множества, подмножества, включения

Множество относится к простейшим, неопределяемым понятиям и понимается как собрание, совокупность, коллекция объектов, объединяемых по какому-то правилу (характеристическому свойству).

Множество считается заданным, если каким-либо образом указаны все его элементы. Задание множества производится или перечислением его элементов, или указанием характеристического свойства.

Множества обозначаются обычно большими буквами латинского алфавита, его элементы ­­— маленькими. В случае, когда элемент x принадлежит множеству A, пишут x∈A, в противном случае x A (или x ∉ A).

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом .

В том случае, когда два множества A и B состоят из одних и тех же элементов, говорят, что они равны, и пишут A=B, в противном случае A≠B. Для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и обратно, что каждый элемент второго множества принадлежит первому.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В, что обозначается так: А⊆В. Всякое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: само множество А и пустое множество , которые называются несобственными подмножествами множества А. Запись А⊂В означает, что множество А является подмножеством множества В, но A≠B. В этом случае говорят, что множество А есть собственное подмножество множества В.

Множество J называется универсальным множеством для системы множеств А, В, С, …, если каждое из этих множеств является его подмножеством.

Пример 1. Составить список элементов множества

А = {x: x∈N, –3<x ≤ 5}.

Пример 2. Описать множество точек М числовой прямой, таких, что

{М: │ОМ │= 1}, и перечислить его элементы.

Пример 3. Верно ли соотношение {a, b, c} = {{a, b}, c}?

Пример 4.

1. Составить список элементов множеств, заданных характеристическими свойствами: 1) А= {x : x² – 8 x+15=0 }; 2) А = { x: x∈N,

–11<x ≤–3}.

2. Доказать, что если А= {x : x² – 7 x+6=0 } и В={1, 6}, то А=В.

3. Описать множества точек М плоскости, таких, что: 1) {М: │ОМ │= R};

2) {М: │ОМ │≤ R}; 3) {М: │АМ │= │ВМ │}, где А и В — заданные точки.

4. Какая разница в записях А⊂В и А∈В?

5. Доказать, что {{1, 2}, {2, 3}}≠{1, 2, 3}.

6. Верно ли, что {1, 2}∈ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Верно ли, что {1, 2}⊆{{1, 2, 3}, {1, 3}, {1, 2}?

7. Привести примеры таких множеств А, В и С, что: 1) А∈В, В∈С, А С ;

2)А⊆В, В⊆С, А⊆С; 3) А∈В, А⊂В.

8. Является ли множество, состоящее из числа 0, пустым?

9. Доказать справедливость соотношения: ≠ { }.

10. Доказать, что существует только одно множество, не имеющее элементов.

11. Найти все подмножества множеств: 1) ; 2) { }; 3) {1, 2}; 4) {a, b, c, d}.

12. Доказать, что если А⊆В, В⊆А, то А=В, и обратно, если А=В, то А⊆В, В⊆А.

§2. Операции над множествами

Объединением А В множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества А и В, и только из них, т.е. А В ={x : x∈A или x∈В}.

Е сли один и тот же элемент содержится и во множестве А и во множестве В, то в их объединение он входит только один раз. Схематически объединение множеств А и В изображено на рис.1.

Объединением множеств A_t (t∈T) называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества A_t (t∈T), и только из них (здесь предполагается, что индекс t пробегает все значения из некоторого множества T.

Пересечением А В множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В, и только из них, т.е. А В={x : x∈A и x∈B}. Схематически пересечение множеств А и В изображено на рис.2.

Пересечением множеств A_t (t∈T) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множествам A_t (t∈T), и только их них.

Если пересечение множеств не является пустым, то множества называют пересекающимися.

Р азностью А∖В множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не входящих в множество В, и только из них, т.е.

А∖В={ x : x∈А и x∈В }. Схематически разность множеств А и В изображена на рис.3.

Рис.3.

Разность J∖B, где J — универсальное множество, называется дополнением множества В и обозначается .

Пример 1. Доказать тождество А А= А А=А.

Пример 2. Доказать, что если А_t⊆B для всех t∈T, то A_t⊆В.

Пример 3. Доказать, что если А⊆В С, то А ⊆С, и обратно.

Пример 4. В каком из отношений (X ⊂Y, X ⊃Y, X=Y) находятся множества X и Y, если: 1) X= А (В∖С), Y= (А В) ∖ (А С); 2) X= (А В) ∖ С; Y= (А∖С) (В ∖С); 3) X= А ∖ (В С), Y= (А∖В) (А∖С).

Пример 5. Доказать, что: 1) для всех t∈T, В⊆А_t , то В⊆ ; 2) если для всех t∈T А_t⊆В_i, то ⊆ и ⊆ ; 3) ∖ = ∖ В_t);

4) есть наименьшее множество, включающее все множества А_t; 5) есть наименьшее множество, содержащееся во всех множествах А_t.