Глава II

ПРЕДЕЛ

§1 Понятие предела функции

1.Предел функции.

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a, если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х=a, исключая, может быть, саму эту точку, и для любого числа ε >0 существует такое число 𝛿(ε)>0, что для всех х≠a, таких, что | х–a | <𝛿, выполняется неравенство | f(x) –A| <ε.

Иными словами, число А называется пределом функции f(x) при х→a, если для произвольной ε-окрестности точки у=А существует 𝛿-окрестность точки х=a, для всех точек которой (кроме, может быть, точки х=a) значения функции f(x) попадают в ε-окрестность точки А.

Р азмер -окрестности (a—𝛿, a+𝛿) определяется размером ε-окрестности (А— ε, А+ε), т.е. 𝛿 есть функция от ε, что и подчеркивается обозначением 𝛿(ε). Рис.1 на котором изображен график функции y= f(x), дает геометрическую иллюстрацию равенств

:

для x∈(a– 𝛿, a+𝛿) график размещается внутри полосы, ограниченной прямыми y= A± ε.

Следует иметь в виду, что существует бесконечное множество значений 𝛿, отвечающих заданному ε, среди которых есть наибольшее. Однако если речь идет о проверке равенства A, то достаточно найти одно значение 𝛿(или доказать его существование), соответствующее произвольному ε>0, заменив неравенство | f(x)–A| <ε более простым, к нему приводящим. При этом часто бывает удобной замена переменной x–a t.

Пример 1. Доказать, пользуясь определением предела функции, что . Каким должно быть число 𝛿>0, чтобы для x∈(–2– 𝛿, ­–2+𝛿) значения функции 2x+5 отличались от 1 меньше, чем на 0,1; 0,01; 0,001?

Решение: Рассмотрим произвольное число ε >0. Надо убедиться в существовании такого числа 𝛿(ε)>0, чтобы из неравенства |x+2| <𝛿, x≠ –2, следовало неравенство , т.е Последнее неравенство равносильно следующему: , так что можно взять 𝛿(ε)= ε/2 или любое положительное число меньше его. Значит, , ибо для любого числа ε >0 найдено 𝛿= ε/2 такое, что для всех x≠ –2 и удовлетворяющих неравенству ,выполняется неравенство .

Полагая в формуле 𝛿(ε)= ε/2 ε=0,1; ε=0,01; ε=0,001, находим 𝛿(0,1)=0,05; 𝛿(0,01)=0,005; 𝛿(0,001)=0,0005.

Пример 2. Доказать, исходя из определения предела функции, что

Решение. Возьмем произвольное число ε >0 и выясним, существует ли такое число 𝛿>0, что из неравенства , x≠ 1, следует неравенство . Если положить х–1=t, то доказательство сводится к решению вопроса: найдется ли такое число 𝛿>0, чтобы из неравенства вытекало, что ?

С этого момента рассуждения можно вести по-разному. Используя известное неравенство , получим и потребуем, чтобы каждое слагаемое, стоящее в правой части, было меньше ε/2: . Полученная система неравенств равносильна следующей: , , и за 𝛿 можно взять любое число меньше и , например .

Или иначе, поскольку , то при , и . Отсюда ясно, что если , т.е. , то тем более . Последнее неравенство есть результат одновременного выполнения условий и . Поэтому, взяв , для , т.е. для , будем иметь одновременно и , и , из чего следует, что , т.е. . Значит,

Пример 3. Проверить равенство

Решение. Задавшись некоторым числом ε >0, составим неравенство . Элементарными преобразованиями он приводится к равносильному . Если неравенство верно, то существует 𝛿>0 такое, что множество значений x, определяемых условием , удовлетворяет этому неравенству. Сделав замену переменной , получим два неравенства: и , из которых первое должно быть следствием второго. Пусть , т.е. , тогда и . Поэтому если , то тем более . Приняв , нетрудно проверить, что для любого ε >0 найдено 𝛿>0 зависящее от ε, а именно такое, что для любых x≠ 3 из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , следовательно,

Пример 4. Доказать, что

Решение. Возьмем некоторое число ε >0. Чтобы убедиться в справедливости равенства, достаточно найти такое число 𝛿>0, для которого неравенство приводит к неравенству < ε. Это неравенство верно при любом х, если (ибо ). Для таких значений ε в качестве 𝛿 можно взять любое положительное число. Чтобы найти 𝛿 при ε , заметим, что условие < ε равносильно такому , т.е. . Если ε , то и .

Если же , то двойное неравенство можно заменить одним, а именно неравенством (ибо при всех х) или неравенством . В этом последнем случае, очевидно, можно взять . При ε из двух чисел и первое будет меньше (это видно из формул ; ), так что для 𝛿 можно принять то же выражение. Учитывая, что при в качестве 𝛿 можно взять любое положительное число, получаем окончательно

Тогда при таких 𝛿 для любого ε >0 из неравенства выполняется неравенство < ε, следовательно,

2.Односторонние пределы.

Число А называется левосторонним пределом функции f(x), или пределом слева, в точке х=a, если функция f(x) определена в некоторой левосторонней окрестности точки х=a, исключая, может быть, саму эту точку, и если для любого числа ε >0 существует такое число 𝛿(ε)>0, что из неравенства a – 𝛿< x <a следует неравенство |f(x) –A|< ε.

Для предела слева применяются обозначения , или f (a–0), так что приведенное определение можно записать, например, в виде равенства равосторонний предел функции, или предел справа, определяется аналогично и обозначается или f (a+0).

При a=0 применяются обозначения , или f (–0) для предела слева и , или f (+0) для предела справа.

Формально понятие предела слева(справа) получается из определения предела функции при условии и может быть изложено так: равенство (или f (a–0) = ) означает, что произвольной ε-окрестности точки y= можно поставить в соответствие левостороннюю δ-окрестность точки х=a, для всех точек которой, кроме, может быть, самой точки х=a, значения функции f(x) попадают в ε-окрестность точки . Аналогичный смысл имеет равенство (или f (a+0) = ).

Вообще говоря, f (a–0) ≠ f (a+0). Такая ситуация и представлена на рис.2, где (a – δ′, a) есть левосторонняя δ′-окрестность точки х=a, отвечающая ε-окрестности точки y= , а (a, a+δ″) есть правосторонняя δ″-окрестность точки х=a, соответствующая ε-окрестности точки .

Условие f (a–0) = f (a+0) является необходимым и достаточным условием существования . (Тогда = f (a–0) = f (a+0).)

Пример 5. Доказать, что . (Символ [x] означает целую часть от числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Решение. Для x∈[1,2) [x]=1 и x/[x]=x. При произвольном ε >0 неравенство можно записать так: . Следовательно, если принять , то из неравенства , с одной стороны, следует, что x∈(1,2) (ибо 𝛿>0), а с другой стороны , что формально можно записать и так: или , следовательно, .

Чтобы доказать второе равенство, заметим, что для x∈(2,3) неравенство переходит в неравенство или . Поэтому, взяв для , т.е. для x∈(2,3), получим , или . Поскольку [x]=2, то x/2 = x/[x], и условие есть следствие неравенства . Значит, .

3.Предел функции в бесконечно удаленной точке.

Понятие предела функции, естественно, обобщается на тот случай, когда a не есть конечное число, если ввести понятие окрестности бесконечно удаленной точки как множества всех значений х, для которых |x| >b, где b>0 — произвольное число. Тогда равенство по определению означает, что всякому числу можно поставить в соответствие число b(ε)>0, такое, что при |x|>b выполняется неравенство |f(x)–A|< ε.

Число b(ε), зависящее от выбранного ε, играет в этом определении ту же роль, что число 𝛿(ε) в определении предела . Каждому значению ε отвечает бесконечное множество значений b, среди которых есть наименьшее, соответствующее наибольшей окрестности бесконечно удаленной точки.

Геометрический смысл записи виден на рис.3 произвольной ε-окрестности точки y=A можно сопоставить окрестность бесконечно удаленной точки, т.е. множество x таких, что |x|>b, для всех точек которой A– ε < f(x)< A+ ε, т.е. график функции размещается в полосе, ограниченной прямыми у=А±ε.

В частности, если x→+∞ или x→ –∞, определение предела функции выглядит следующим образом:

число А называется пределом функции f(x) при x→+∞ ), если для любого положительного числа ε существует число b, такое, что как только x > b, выполняется неравенство |f(x)–A|< ε (рис.4);

число А называется пределом функции f(x) при x→ –∞ ), если для любого положительного числа ε существует число b, такое, что как только x < b, выполняется неравенство |f(x)–A|< ε (рис.5).

Понятия, определяемые равенствами , обобщают понятия односторонних пределов функции. Рис.4 и 5 дают их геометрическую интерпретацию.

Пример 6. Доказать, что . Каким должно быть число b, чтобы для |x| > b значения функции отличались от 9/4 меньше, чем на 0,1; 0,002; 0,000005?

Решение. Пусть ε >0 — произвольное число. Доказываемое утверждение верно, если существует b>0 такое, что при |x| > b выполняется неравенство |f(x)–9/4|< ε, т.е. , или . Последнее неравенство равносильно следующему: |x| >5/(4ε), так что положив b=5/(4ε), при |x| > b получим как следствие , или . Следовательно, .

На остальные вопросы получаем ответ простым вычислением значений b(ε) = =5/(4ε) при ε, равном 0,1, 0,002 и 0,000005, который можно оформить так:

ε	0,1	0,002	0,000005
b	12,5	625	250000

Пример 7. Доказать, что

Решение. Исходя из определения предела функции, для любого ε >0 надо найти такое b, что для всех x<b выполняется неравенство ε.

Преобразуем последнее неравенство:

и потребуем, чтобы каждое из слагаемых было меньше ε/2, тогда их сумма будет меньше ε: 1/|x|< ε/2, 1/x²< ε/2, или |x|>2/ ε, |x|> .

Так как x→ –∞, то можно считать x<0 и тогда |x|= –x, и система неравенств будет равносильной следующей: –x>2/ε, –x> или x<–2/ε, x<– . Вместо b можно взять, например, min{– , – }. Итак, для всех x< min{– , – } при любом ε >0 выполняется неравенство ε, следовательно, .

4.Предел числовой последовательности.

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Говорят, что последовательность {x_n} имеет пределом число А ( ), если для любого положительного числа ε существует такое число N, что для всех n>N выполняется неравенство | x_n –A|< ε.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся; всякая иная последовательность расходящаяся.

Пример 8. Доказать, что .

Решение. По определению предела последовательности надо по любому числу ε >0 найти такое число N, чтобы для любых n>N выполнялось неравенство .

Если преобразовать левую часть неравенства, то , откуда n >4/ . Если 4/ , т.е. при , то исходное неравенство будет выполняться для всех натуральных n, а если 4/ , то в качестве числа N можно рассмотреть число 4/ или его целую часть, т.е. N=[4/ ].

Заметим, что здесь важно найти какое-либо число N, не обязательно наименьшее, поэтому можно упростить вычисления для его отыскания. От неравенства 4/(n+2)< ε перейдем к более простому 4/(n+2)<4/n , так как n+2>n. Если N выбрать так, чтобы для n>N выполнялось неравенство 4/n< ε, то тем более для этих n будет выполняться неравенство 4/(n+2)< ε. От неравенства 4/n< ε перейдем к эквивалентному n>4/ ε. За число N можно взять число 4/ε или, например, его целую часть, т.е. N=[4/ε].

Итак, для любого положительного числа ε найдено число N такое, что для всех n, больших его, выполняется неравенство

.

Пример 9. Доказать, что

Решение. В соответствии с определением предела последовательности надо по любому числу ε >0 найти такое число N, чтобы для любых n>N выполнялось неравенство .

Преобразуем его левую часть:

.

Заметим, что Если число N выбрать так, чтобы для всех n>N выполнялось неравенство 11/n<ε, то тем более для этих n будет выполняться неравенство 11/(n²+4)< ε, начиная с n >11/ε, т.е. за число N можно взять, например, 11/ε или его целую часть [11/ε].

5.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x, стремящемся к a, если .

Из определения предела функции следует, что для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы разность f(x)–A была бесконечно малой при x→a.

П римерами бесконечно малых являются следующие функции: 2x+4 при x→–2, x²–4x+3 при x→1, (x+5)/(2x+1)–8/7 при x→3, arctgx–π/4 при x→1, x/[x]–2 при x→2–0, x/[x]–1 при x→2+0, (9x+5)/(4x)–9/4 при x→∞, x+1/x² при x→–∞, (n+2)/(n–2) – 1 при x→∞ (см. примеры 1–8).

Если f(x) и φ(x) — бесконечно малые при x→a, то их сумма и произведение есть бесконечно малая, кроме того, произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть бесконечно малая функция. Функция f(x) называется бесконечно большой при x, стремящемся к a, если (или ±∞).

Иначе говоря, любой окрестности V точки y=∞ (или ±∞) можно поставить в соответствие δ-окрестность точки x=a, для всех точек которой, отличных от a, f(x)∈V. Геометрически это означает, что для x∈(a–δ, a+δ), x≠a, график функции y= f(x) лежит вне полосы, ограниченной прямыми y=±E.

Можно дать определение бесконечно большой иначе.

1 ) , если для любого числа Е>0 существует число δ(Е)>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x–a|<δ и x≠a, выполняется неравенство | f(x)|>E.

2) , если для любого числа Е>0 существует число δ(Е)>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x–a|<δ и x≠a, выполняется неравенство f(x)>E (рис.7).

X

3) , если для любого числа Е существует число δ(Е)>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x–a|<δ и x≠a, выполняется неравенство f(x)<E (рис.8).

Понятие бесконечно большой распространяется и на случай, когда a=∞ (a=+∞, a= –∞).

, если для любого числа Е>0 существует число такое b, что для всех х>b выполняется неравенство f(x)>E (рис.9);

, если для любого числа Е существует число такое b, что для всех х>b выполняется неравенство f(x)<E (рис.10);

Рис. 9 Рис.10

, если для любого числа существует такое число , что для всех выполняется неравенство (рис. 11).

, если для любого числа существует такое число , что для всех выполняется неравенство (рис. 12).

Рис. 11 Рис.12

Между бесконечно большими и бесконечно малыми существует простая связь: если при — бесконечно малая, то при бесконечно большая, и обратно.

Пример 10. Доказать, что функция есть бесконечно малая при . (Иногда задачи такого типа можно встретить в такой формулировке: доказать, что функция есть бесконечно малая в точке . Здесь подразумевается не значение функции в точке , а её изменения при значениях , близких к единице.)

Решение. Согласно определению бесконечно малой достаточно показать, что .

Зафиксируем число и покажем существование такого числа , что неравенство или выполняется для всех , удовлетворяющих неравенству . Очевидно, что из неравенства следует, что , значит, , и функция — бесконечно малая при .

Пример 11. Доказать, что

Решение. Обозначим

, , .

Тогда . Заметим, что , т.е. — бесконечно малая при (докажите это самостоятельно, используя пример 7), а — ограниченная функция, так как . Тогда как произведение бесконечно малой на ограниченную функцию.

Пример 12. Доказать, что функция бесконечно большая при .

Решение. Так как при функция бесконечно малая, то функция бесконечно большая.

Пример 13. Доказать, что

Решение. Так как при функция бесконечно большая, то бесконечно малая, а тогда

Пример 14. Доказать, что последовательность является бесконечно большой при .

Решение. Здесь необходимо доказать, что т.е. что , где — произвольное число, для всех , начиная с некоторого номера . Используя монотонность логарифмической функции (основание ), получим , , , и за число можно взять, например, целую часть числа , т.е. . Итак, для всех выполняется неравенство , следовательно, последовательность бесконечно большая.

Пример 15. Доказать, что функция бесконечно большая при .

Решение. Взяв некоторое число , выясним, существует ли такое , чтобы при выполнялось неравенство . Ясно, что ибо и — числа одного знака. Требуемое неравенство верно, если или . Следовательно, можно положить . Тогда из условия будет вытекать неравенство . Значит, данная функция бесконечно большая при .

Пример 16. Доказать, что , .

Решение. Если , то откуда .

Заметим, что при стремится к , причем , следовательно, для достаточно больших будет выполняться неравенство , т.е. , а тогда последовательность убывающая, а так как она ограничена снизу нулем, то имеет предел. Обозначим его , .

Если теперь в равенстве перейти к пределу, то получим , что выполняется лишь при .

Замечание. Так как последовательность бесконечно малая при , то последовательность бесконечно большая, т.е.