§3. Эквивалентность множеств

Если каждому элементу множества А по какому-то правилу можно сопоставить один и только один элемент множества В и обратно каждому элементу множества В можно сопоставить один и только один элемент множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно-однозначное взаимодействие.

Множества А и В называются эквивалентными, А ~ В, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, в противном случае множества называются неэквивалентными, А B .

Для установления факта эквивалентности двух множеств достаточно указать какое-либо правило установления их взаимно-однозначного соответствия.

Отношение эквивалентности между множествами обладает свойствами:

1. рефлексивности — A ~ A;

2. симметричности — если A ~ B, то B ~ A;

3. транзитивности — если A ~ B, а В ~ С, то A ~ С.

Мощностью множества А называется класс всех множеств, эквивалентных множеству А, т.е. мощность есть то общее, чем характеризуются все эквивалентные между собой множества.

Если А B и А ~ B₁ ⊂B, то мощность множества А считается меньшей мощности множества В.

Непустое множество А называется конечным, если существует такое число

n∈N, что А ~ {1, 2, …, n}. В этом случае говорят, что множество А имеет мощность, равную n, или что оно имеет n элементов.

Пустое множество также считается конечным, и его мощность равна нулю.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Множество А, эквивалентное множеству N натуральных чисел, называется счетным, и его мощность обозначается символом . Для установления счетности множества достаточно указать правило пересчета его элементов всеми натуральными числами.

Множество, эквивалентное множеству R вещественных чисел, называется множеством мощности континуума, и его мощность обозначается символом с.

Мощности произвольных множеств называются кардинальными числами. Мощности конечных множеств выражаются натуральными числами (или нулем для пустого множества), т.е. кардинальные числа для конечных множеств — натуральные числа (или нуль для пустого множества).

Над мощностями (кардинальными числами) выполнимы только две операции — сложение и умножение. Суммой +β двух мощностей α и β множеств А и В, не имеющих общих элементов, называется мощность множества С, являющегося объединением множеств А и В. Произведением αβ двух мощностей α и β множества А и В называется мощность множества С, элементами которого являются все упорядоченные пары, составленные из элементов множеств А и В.

Действия над мощностями:

1. коммутативны — α+β=β+α, αβ=βα;

2. ассоциативны — (α+β) + γ= α + (β+ γ), (αβ) γ= α(βγ);

3. дистрибутивны — (α+β) γ= αγ +βγ.

Пример 1. Можно ли сказать, что если A = B, то A ~ B ?

Пример2. Установить взаимно-однозначное соответствие между множествами А = { x : x∈R, 0 ≤ x <1 } и В = { y : y∈R, a ≤ y <b}.

Пример 3. Доказать равномощность: 1) множества точек окружности и множества точек контура квадрата; 2) множества точек окружности без одной точки и множества точек прямой; 3) множества точек сферы без одной точки и множества точек плоскости.

Пример 4. Доказать, что для любого бесконечного множества А можно выделить его собственное подмножество А₁ такое, что А₁ ~ A.

Пример 5. Доказать, что: 1) конечное множество не эквиваленто никакому своему собственному подмножеству; 2) два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов.

Пример 6. Доказать, что: 1) всякое подмножество конечного множества конечно; 2) объединение конечного числа конечных множеств конечно.

Пример 7. Доказать, что не существует множества, содержащего все множества.

Пример 8. Доказать, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Пример 9. Доказать, что среди всех бесконечных множеств счетные множества имеют наименьшую мощность.

Пример 10. Доказать, что всякое подмножество счетного множества счетно или конечно.

Пример 11. Доказать, что множество нечетных чисел счетное.

Пример 12. Доказать, что множество целых неотрицательных чисел счетное.

Пример 13. Доказать, что множество целых чисел, делящихся на 10, счетное.

Пример 14. Доказать, что множество рациональных чисел счетное.

Пример 15.Доказать, что множество точек плоскости с целыми координатами счетное.

Пример 16. Доказать, что если из множества мощности континуума удалить конечное число или счетное подмножество, то оставшееся множество будет множеством мощности континуума.

Пример 17. Определить мощность множества иррациональных чисел.

Пример 18. Доказать, что кардинальных чисел бесконечно много и среди них нет наибольшего.

Пример 19. Доказать, что 2+2=4, 2∙2=4.