Навчальне заняття № 7 Лекція № 1.3

Тема: Відповідності та відношення.

План

1. Поняття відповідності між множинами. Граф відповідності.

2. Способи задання відповідностей.

3. Відповідність, обернена даній.

4. Взаємнооднозначна відповідність.

5. Рівнопотужні множини.

6. Поняття бінарного відношення. Граф відношення.

7. Способи задання бінарних відношень.

8. Властивості бінарних відношень.

9. Відношення еквівалентності.

10. Відношення порядку.

1. Поняття відповідності між множинами. Граф відповідності

Усе, що оточує нас у реальному світі, перебуває в певних залежностях, зв’язках. Наукові поняття, які відображають певні сторони реальної дійсності, також перебувають між собою в певних залежностях, або відповідностях. В математиці вивчаються не лише самі об'єкти (числа, фігури, величини), але і зв'язки між ними. Маючи уявлення про конкретні відношення між геометричними фігурами, множинами і другими об'єктами необхідно встановити, що спільного у цих відношеннях, якими способами можна класифікувати таку велику кількість відношень.

Знання даного матеріалу необхідне вчителю початкових класів для того, щоб вивчаючи конкретні відношення в початковій школі (більше, менше, більше на, більше в, менше на, менше в, дорівнює та інші) розуміти їх спільні риси, взаємозв'язки.

Наприклад, нумерація класів в школі: 1а, 1б, 1в, 2а, 2б, 2в і т.п. - це встановлення відповідності між множиною чисел 1,2,3,4 і множиною букв а,б,в. При вимірюванні довжини відрізків встановлюється відповідність між відрізками і множиною дійсних чисел.

Досить поширеною є гра: один із гравців називає місто, а другий повинен швидко назвати місто, назва якого починається з останньої букви попереднього міста і т.д. Гра закінчується, якщо один із гравців не може швидко згадати місто з відповідною назвою.

Нехай, наприклад, перший і другий гравці послідовно назвали такі міста: Кременчук, Київ, Воронеж, Житомир, Рига, Ашхабад, Донецьк. Названі міста утворюють дві множини:

А ={Кременчук, Воронеж, Рига, Донецьк};

В = {Київ, Житомир, Ашхабад}.

Зобразимо залежність між даними множинами схематично, або за допомогою графа, Множини А і В позначимо різними кругами.

На даних прикладах видно, що відповідність встановлюється між елементами двох множин. Такі відповідності називаються бінарними відповідностями.

О. Відповідністю між елементами двох множин (бінарною відповідністю) називається підмножина декартового добутку .

Множина Х називається множиною відправлення, а множина Y – множиною прибуття відповідності. Разом їх називають базовими множинами відповідності.

Відповідність між елементами двох множин X і Y можна називати відношенням між елементами двох множин X та Y.

Відповідності можна позначати малими буквами грецького або латинського алфавіту: Ці букви несуть подвійне навантаження: вони позначають відношення між елементами двох множин, а також і його графік. Те, що є відношенням між елементами множин і , записується так: Можна позначити відповідність і так: .

Якщо пара (x,y) належить відношенню між елементами множин і , тобто то в теорії відношень кажуть, що елемент перебуває у відношенні з або що елементу при відношенні ставиться у відповідність елемент і, крім запису , користуються ще й записом .

О. Множина впорядкованих пар, що становлять відповідність, називається його графіком.

Множина всіх перших компонент графіка відповідності називається областю визначення і позначається . Множина всіх других компонент графіка відповідності називається областю значення і позначається .Очевидно, що .

Відповідності називаються рівними, якщо їх графіки збігаються.

Для наочного зображення відповідності часто користуються графами, а у випадку числових множин ще й точковими графіками.

О. Графом називається множина точок і відрізків, які попарно з’єднують деякі з цих точок. Точки називаються вершинами графу, а відрізки – його ребрами.

Слово "граф" походить від грецького слова "графо" - пишу.

Граф, на ребрах якого вказано напрям, називається орієнтованим, а ребра – дугами. Будемо розглядати лише орієнтовані графи і називатимемо їх просто графами.

Наприклад, Х={2,4,6,8}, У={1,3,5,7,9}.

Граф відповідності “більше” Граф відповідності “більше на 1 “