Задача 3.

Исходные данные. Таблица 3 содержит данные о среднесписочной численности работников организации и темпе роста производительности труда по филиалам организации.

Задание. Используя данные таблицы, вычислить индекс производительности труда в целом по всему предприятию. Определить экономию численности работников за счет роста производительности труда.

Таблица 3

Номера филиалов (вариантов)	Среднесписочная численность работников в отчетном периоде, чел.	Индивидуальный индекс производительности труда в %
1	120	108,0
2	80	112,0
3	65	102,0
4	160	100,8
5	30	105,0
6	127	110,0
7	90	107,0
8	112	102,5
9	68	104,0
10	78	108,3

Методические рекомендации к выполнению задачи 3

Индекс – это относительная величина, получаемая путем сопоставления двух состояний одного и того же явления.

Для оценки степени выполнения плановых заданий рассчитываются индексы выполнения плана, а с помощью динамических индексов изучается изменение явления во времени. Аналитические индексы позволяют изучить взаимосвязь между признаками.

В зависимости от состава изучаемой совокупности различают: индивидуальные и общие индексы.

Индивидуальные индексы (i) характеризуют изменение только одного элемента сложного явления. Например, изменение выпуска только одного вида изделия, изменение производительности труда только в одном подразделении.

Индивидуальный индекс производительности труда i определяется:

где П₁ – производительность труда цеха, филиала организации в отчетном периоде;

П₀ – производительность труда в этого же цеха, филиала в базисном периоде.

Общие индексы (J) характеризуют изменение всех элементов сложного явления в целом. Например, изменение производительности труда в целом по всем подразделениям организации. В состав общего индекса входит две величины: индексируемая величина – это признак, изменение которого изучается. Он является переменной величиной; вес – признак, который является соизмерителем, его величина постоянная. Агрегатная форма индексов является основной при определении общих индексов.

Общий индекс производительности труда в агрегатной форме:

где Т₁ – среднесписочная численность работников цеха, филиала организации в отчетном периоде.

Если информационная база не дает возможности проведения индексного анализа в агрегатной форме, индексы могут быть построены в виде средних. Различают среднеарифметический и среднегармонический индексы.

Для определения общего изменения производительности труда применяется среднеарифметический индекс:

где i – индивидуальные индексы производительности труда цехов, филиалов, выраженные в коэффициентах.

Разность между числителем и знаменателем в индексе есть абсолютное изменение показателя – условная экономия численности работников за счет роста производительности труда.

Задача 4.

Исходные данные. В таблице 4 приведены результаты выборочного наблюдения о весе почтовых оправлений. Вид отбора повторный и объем генеральной совокупности не определен.

Задание. Определить:

1. Предельную ошибку выборки с вероятностью (t=2).

2. Построить доверительные интервалы.

3. Относительную ошибку выборки .

4. Необходимый объем выборочной совокупности при относительной ошибке, не превышающей 2%

Таблица 4

Наименование показателей	Значение показателей (определяется по последней цифре номера студенческого билета).
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1. Средний вес посылки, г	158	830	275	240	760	324	950	512	490	810
2. Среднее квадратическое отклонение веса от среднего, г	42	103	57	60	146	54	183	97	132	230
3. Объем выборки, ед.	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70

Методические рекомендации к выполнению задачи 4

Выборочное наблюдение является несплошным наблюдением. Это такой вид статистического наблюдения, при котором обследованию подвергается не вся изучаемая совокупность, а лишь часть ее единиц, отобранных в случайном порядке.

Целью выборочного наблюдения является определение параметров генеральной совокупности (генеральной средней и генеральной доли) на основе параметров выборочной совокупности (выборочной средней и выборочной доли). Разница между генеральными и выборочными параметрами называется ошибкой выборки

Различают два вида отбора: повторный и бесповторный. Первый способ предполагает, что после отбора какой-либо единицы, она возвращается в генеральную совокупность и может быть исследована еще раз.

При бесповторной выборке отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность и тем самым вероятность попасть в выборку для оставшихся единиц увеличивается с каждым шагом отбора

Предельная ошибка выборки при определении среднего размера признака определяется по формулам:

- для повторного отбора

- для бесповторного отбора

где - выборочная дисперсия,

n – объем выборочной совокупности,

N – объем генеральной совокупности,

t – коэффициент доверия, который определяется по таблице

значений функции доверительной вероятности

Зная величину выборочной средней и предельную ошибку выборки, определяется доверительный интервал, в котором находится значение генеральной средней:

где – средний размер признака в генеральной совокупности.

- среднее значение признака в выборочной совокупности.

Относительная ошибка выборки определятся с использованием формулы:

Считается, что если β превышает 12%, то погрешность высокая и необходимо увеличить объем выборки.

При проектировании выборочного наблюдения решается задача нахождения необходимой численности выборки, обеспечивающей определенную точность расчета оценок генеральной средней.

Сначала задается величина относительной ошибки выборки (β), затем определяется абсолютная ошибка (Δ) при заданном значении β:

Затем находится объем выборки при повторном отборе

или бесповторном отборе