2.1.2. Силовые параметры трещинодвижущих сил и трещиностойкости в лумр

Введение в ЛУМР силовых параметров трещинодвижущих сил - коэффициентов интенсивности напряжений при заданной моде нагрузки на трещину (К_I, K_II, K_III) и их критических значений – параметров трещиностойкости (К_IС, K_IIС, K_IIIС) базируется на анализе напряженно-деформированного состояния материала в окрестностях вершины (кончика) трещины. Эти параметры получили название силовых в связи с представлениями о том, что разрушение линейно-упругого материала обусловлено превышением силы (напряжения) некоторого предельного значения. Методами теории упругости доказывается, что вне зависимости от моды нагружения (I, II или III) локальные напряжения вблизи вершины трещины пропорциональны приложенному удаленному напряжению. При прочих равных условиях локальные напряжения тем больше, чем больше размер трещи­ны и чем меньше расстояние до ее вершины. Напряжения стремятся к бесконечности (сингулярны) в вершине трещины, а по мере удаления от нее убывают пропорцио­нально корню квадратному из расстояния, асимптотически достигая среднего напряжения на пластину (см. рис. 2.4).

Рис.2.4. Схема распределения силовых линий вблизи вершины трещины в нагруженном удаленным напряжением упругом теле (локальное напряжение пропорционально числу линий на единицу длины). (Sharp crack, length c – острая трещина длиной с; Remote stress σ – удаленное напряжение σ; Lines of force concentrated at craсk tip – линии концентрации напряжений вблизи кончика трещины).

В случае линейно-упругого тела локальные напряжения (σ) и смещения или деформации (u) материала вокруг трещины в полярных координатах r и θ с полюсом в вершине трещины при раскрытии трещины по типу I (Рис.2.6) описываются соотношениями:

Рис.2.6. Система координат в окрестности трещины.(Crack – трещина)

, , (2.11а) ; (2.11б), где μ, Е, υ - модуль сдвига, модуль Юнга, коэффициент Пуассона соответственно ( ); - коэффициент, зависящий от типа напряженно-деформированного состояния образца (от его толщины): - для плоского деформированного состояния и - для плоского напряженного состояния (Рис.2.6). В обобщенном виде поле напряжений в окрестности вершины трещины можно записать как: (2.11в), где М – тип (мода) нагружения трещины I, II или III, f_ij (θ) — функция угла θ, не зависящая от геометрии тела и трещины и условий нагружения. При моде нагружения I (2.11г), где σ₀ – удаленное напряжение растяжения, а – размер трещины.

Из соотношения (2.11в) следует, что поля напряжений в окрестностях трещины в линейно-упругом теле при различных модах нагружения подобны и различаются только масштабным фактором К_М, который представляет собой амплитуду поля напряжений, характеризует движущую силу роста трещины и зависит от геометрии тела и трещины, а также от типа нагрузки. В случае небольшой центральной щелевой трещины длиной 2а в беско­нечной пластине из однородного и изотропного линейно-упругого ма­териала при нагружении трещины по типу I приложением на пластину вдали от трещины напряжения растяжения σ (см. рис. 2.2): (2.12а). С учетом различий в форме и размерах тел с трещиной это выражение записывается в более общем виде: или (2.12б), где Y – константа, зависящая от формы и размеров тела (геометрический фактор), значения которой рассчитываются аналитическими или численными методами. Аналогичными методами рассчитываются значения К_М для других типов нагрузки на трещину - продольного и поперечного сдвига (K_II и K_III) соответственно. Размерность К_М в системе СИ [Па м^1/2, т.е. напряжение/длина^1/2 или сила/длина^3/2.

Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений К_М в обобщенном виде характеризует напряжённое состояние материала вблизи вершины трещины. При одинаковых его значениях в различных телах с трещинами поля напряжений и смещений вокруг трещины будут одинаковыми. Это дает ос­нование рассматривать параметр К_М как силу, движущую трещину, и принять его в качестве критериальной величины при формулировании критерия роста трещин: трещина получает возможность распространяться в том случае, когда коэффициент интенсивности напряжений К_М достигнет или превысит критическую величину K_с: (2.13). Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений К_с характеризует сопротивление материала росту трещин (вязкость разрушения) и является мерой его трещиностойкости. локальные напряжения В случае однородных и изо­тропных линейно-упругих материалов предполагается независимой от длины трещины и направления ее распространения.

При экспериментальном определении К_Iс с использованием образца в виде плоской двухконсольной балки с трещиной, раскрываемой по моде I (см. уравнении 2.10): (2.14а) и (2.14б). При этом трещина растет нестабильно (катастрофически), так как K_I резко возрастает с увеличением длины трещины. Для обеспечения стабильного роста трещины можно профилировать балку, т.е. увеличивать ее высоту h таким образом, чтобы а² была пропорциональна h³.

В настоящее время К-параметры трещинодвижущих сил и трещиностойкости являются одними из основных в линейной упругой механике трещин. Наиболее широко и эффективно они используются в инженерных расчетах элементов и конструкций в целом, так как позволяют с применением сравнительно простых фор­мул оценивать допустимые нагрузки для изделий сложной конфигура­ции, содержащих дефекты известного размера, или, наоборот, опре­делять допустимые размеры дефектов при заданных условиях нагружения изделий. Однако следует отметить, что в отличие от энергетических параметров трещиностойкости физическая интерпретация и тео­ретический расчет силового параметра трещиностойкости K_с, исходя из состава и структуры конкретного материала, затруднены.

В механике трещин показано, что в случае линейно-упрутих материалов силовые К- и энергетические G-параметры связаны между собой через модули упругости и коэффициент Пуассона cледующими простыми соотношениями при различных напряженно-деформированных состояниях и модах на­гружения трещины: (2.15), где Е, μ, v – модуль Юнга, модуль сдвига и коэффи­циент Пуассона материала соответственно, Е*=Е при плоском напряженном состоянии и – при плоском деформированном состоянии. В случае сложно-напряженного состояния трехмерного тела, в котором на трещину воздействуют все три типа нагрузок и общий G-параметр является суммой отдельных параметров (см. уравнение 2.6): и (2.16а) при плоском напряженном состоянии; и (2.16б) - при плоском деформированном состоянии.