Лекція 2 Тема: Поняття про комбінаційні схеми та цифрові автомати
Комбінаційною схемою називають цифровий пристрій, в якому значення вихідних сигналів, в певний момент часу, визначається тільки сукупністю вхідних сигналів в даний момент часу. Таку систему розглядають як чорний ящик, який має n входів і m виходів.
В
цифрових автоматах, окрім комбінаційних
схем, застосовують елементи пам’яті,
тому сукупність вихідних сигналів в
певний момент часу в цифрових автоматах
визначається додатково і сигналами
станів цього пристрою, які залежать від
вхідних сигналів у попередній момент
часу.
Щоб описати функціонування цифрового автомату необхідно задати сукупність вхідних сигналів Р(хі), сукупність вихідних сигналів S(y), сукупність сигналів Q(qi), що описують стан системи в певний момент часу.
Розрізняють
цифрові апарати, що функціонують за
принципом Міллі і апарати за принципом
Мура. В першому випадку функціонування
кодованого набору вихідних сигналів
залежить як від станів запам’ятовуючих
елементів, так і від вхідних сигналів.
В другому випадку комбінаційна схема
забезпечує опосередковано перетворення
станів запам’ятовуючих елементів, які
відображають сукупність вихідних
сигналів. Для апарату Міллі можна
записати, що
;
в другому випадку:
.
Опис функціонування переходів цифрових
автоматів може задаватись кількома
способами: словесно, табличним методом,
з допомогою графів табличних переходів.
Найпоширеніший – табличний метод, карти
Карно, діаграми Вейча, які дозволяють
ефективно проводити мінімізацію
функціональних залежностей при розробці
функціональних схем пристрою, а також
забезпечують використання мінімального
базового набору логічних елементів для
реалізації заданих функцій.
Основи теорії перемикальних функцій
Для
опису роботи цифрових пристроїв
використовуються функціональні
співвідношення алгебри логіки Буля.
Логічні функції можуть залежати від
довільної кількості змінних, однак
змінні приймають тільки два фіксовані
значення. Незважаючи на це число
комбінацій функціонально можливих
значень досить швидко зростає, навіть
для системи числення з основою 2, і
описується співвідношенням:
,
k
– основа системи числення, n
– кількість
аргументів функції.
Так для двійкової системи для однієї змінної маємо 4 значення, 2-16-256; 4 – 665536, 5 – більше 4 млрд. Тому проаналізувати функціонально повний набір вихідних значень функції багатьох змінних практично неможливо.
x |
0 |
1 |
ƒ(x) |
y0 |
0 |
0 |
0 |
y1 |
0 |
1 |
x |
y2 |
1 |
0 |
x |
y3 |
1 |
1 |
1 |
Функції у0, у3 – константи;
Функція у1 – повторення х;
Функція у2 – інверсія х.
Якщо функція може приймати всі можливі значення, що визначаються повною комбінацією вхідних змінних хі, то така функція називається повністю визначеною, в іншому випадку, вона визначена частково або не повністю.
Для функції двох змінних складемо табличку:
x1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
ƒ(x) |
|
x2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
y0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
константа 0 |
|
y1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
кон'юнкція x1٨x2 |
|
y2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
заперечення індикації |
|
y3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
повторення x1 |
|
y4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
заперечення оберненої індикації |
|
y5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
повторення x2 |
|
y6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
сума за модулем 2, виключне АБО |
|
y7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
диз'юнкція x1٧x2 |
|
y8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
заперечення диз'юнкції |
|
y9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
інверсія виключного АБО |
|
y10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
заперечення x2 |
|
y11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
обернена індикація |
|
y12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
обернена імплікація |
|
y13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
імплікація |
|
y14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
заперечення кон'юнкції (штріх Шефера) |
|
y15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
константа 1 |
|
Для функції двох змінних складемо табличку:
Система булевих функцій W називається функціонально повною, якщо з допомогою суперпозиції певного числа функцій f1…fn можна реалізувати довільну булеву функцію від множини аргументів х1…хп. В курсі системної логіки показано, що система, яка включає операції диз’юнкції, кон’юнкції та інверсії називається функціонально повною. Однак така система не є мінімальною. Функціонально мінімізованою називається система, в якій виключення хоча б однієї функції призводить до її неповного функціонального набору. Як слідує з основного співвідношення алгебри логіки, функціонально повний набір може забезпечуватися при використанні двох функцій, наприклад функції інверсії та стрілки Пірса, або інверсія і штріх Шеффера. На основі тотожності подвійного заперечення , функціонально повний набір можна одержати використовуючи тільки одну функцію: стрілку Пірса або штріх Шеффера , оскільки інверсія одержується автоматично з цих функцій.