1.2. Нормальная линейная модель парной регрессии

Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:

1) факторный признак x_i является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии ;возмущение (или зависимая переменная у_i) есть величина случайная.

2) математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях: ,где

3) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений:

4) случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю: ,где i ≠j. Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

5) основываясь на 3 и 4-м предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием.

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии . Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия.

где – значение, найденное по уравнению регрессии;

– выборочная оценка возмущения или остаток регрессии.

Оценкой модели по выборке является уравнение регрессии . Параметры этого уравнения и определяются на основе метода наименьших квадратов.

1

r=-1

r=1

r=0

r=0

r=-1

) Если = 0, то значения, (x_i, y_i), полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, ув пределах области, ограниченной окружностью. В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y. При этом линия регрессии параллельна оси Ох.

2

r=1

) Если , то между случайными величинами Х и Y существует линейная функциональная зависимость. В этом случае говорят о полной корреляции. При = 1 значения x_i, y_i определяют точки, лежащие на прямой линии, имеющей положительный наклон (с увеличением x_i значения y_i также увеличиваются), при = -1 прямая имеет отрицательный наклон.

3) В промежуточных случаях (-1 < < 1) точки, соответствующие значениям x_i,y_i, попадают в область, ограниченную некоторым эллипсом, причем при > 0 имеет место положительная корреляция (с увеличением x_i значения y_i имеют тенденцию к возрастанию), при < 0 корреляция отрицательная. Чем ближе к±1, тем уже эллипс и тем теснее экспериментальные значения группируются около прямой линии.

r<0

r>0

4 ) Здесь же следует обратить внимание на то, что линия, вдоль которой группируются точки, может быть не только прямой, а иметь любую другую форму: парабола, гипербола и т. д. В этих случаях мы рассматривали бы так называемую, нелинейную (или криволинейную) корреляцию.