Примеры заданий из егэ разных лет.

1. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: (Х>4)V((Х>1)→(Х>4))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение.

Для ответа на вопрос надо знать, что логическое следование ложно только в одном случае: истина→ложь = ложь (смотрите таблицу).

Выполняем проверку всех случаев.

1) Х=1

1>4 V((1>1)→(1>4)), получаем 0V(0→0)

0→0 = 1, 0V1=1

Ответ: 1

Проверим случай

2) Х=2

2>4 V((2>1)→(2>4)), получаем 0V(1→0)

1→0 = 0, 0V0=0, т.е. при Х=2 высказывание ложно.

Решить самостоятельно

2. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: ((Х>3)V(Х<3))→(Х<1))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Ответ: 3. Выполните все четыре возможных варианта.

3. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание:

((Х<5)→( Х<3)) Λ (Х<2→(Х<1))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Ответ: 2. . Выполните все четыре возможных варианта.

4. Для какого из указанных значений Х истинно высказывание: ¬((Х>2)→(Х>3))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Ответ: 3. . Выполните все четыре возможных варианта.

5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание: (90<Х·Х)→(Х<(Х-1))

Решение.

Напомним, что для логического следования справедливы следующие равенства:

ложно→ложно = истина

ложно→истина = истина

истина→истина = истина

28

12. Выбрать пример, не являющийся высказыванием:

А) «Гоголь писал «Мертвые души» в Риме»;

Б) «Не можете ли вы передать соль?»;

В) «Рукописи не горят»;

Г) «Некоторые лекарства опаснее самих болезней»;

Д) «У кошки четыре лапы».

13. Отрицанием высказывания «Для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый» явля­ется:

A) «Не для каждого из нас учить второй иностран­ный язык легче, чем первый»;

Б) «Для каждого из нас не учить второй иностран­ный язык легче, чем первый»;

B) «Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык не легче, чем первый»;

Г) «Неверно, что для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый»;

Д) «Неверно, что не для каждого из нас учить второй иностранный язык легче, чем первый».

14. Знаком «» в логике обозначается следующая опе­рация:

А) конъюнкция; Б) дизъюнкция; В) импликация; Г) инверсия; Д) эквивалентность.

15. Логическое высказывание «Если у меня будет сво­бодное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку» можно описать формулой:

А) (АΛВ)(СVD); Б) (АΛВ)↔(СΛD); В) (АΛВ)(СVD);

Г) (АΛВ)↔(СVD); Д) (АΛВ)(СΛD);

11 Класс Решение задач по теме: «Основы логики» Чтобы решать задания по егэ, надо знать, уметь и применять:

1. Знаки логических операций: +, or, V – сумма, *, and, Λ, & - умножение, ¬, not, - отрицание

2. Таблицы истинности:

А	В	А V В	А Λ В	А→В	А В
0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

А	¬А
0	1
1	0

3. Составлять таблицы истинности.

4. Применять законы логики:

1. А + В = В + А (Коммутативность сложения или переместительный закон).

2. А*В = В*А (Коммутативность умножения или сочетательный закон).

3. (А + В) + С = А + (В + С) (Распределительный закон сложения).

4. (А * В) * С = А * (В * С) (Распределительный закон умножения).

5. А * (В + С) = А*В + А*С (Дистрибутивность умножения отно­сительно сложения).

6. А + В*С = (А + В)*(А + С) (Дистрибутивность сложения от­носительно умножения).

7. А + А = А (Идемпотентность сложения).

27

Название закона	формулировка
Переместительный закон	А۷В=В۷А А۸В=В۸А
Сочетательный закон	(А۷В)۷С=А۷(В۷С) (А۸В)۸С=А۸(В۸С)
Распределительный закон	А۸(В۸С)=(А۷В)۸(А۷С) А۸(В۷С)=(А۸В)۷(А۸С)
Закон непротиворечив. Этот закон выражает тот факт, что высказывание не может быть одновременно истинным и ложным	А۸¬А=0
Закон исключенного третьего. Этот закон означает, что либо высказывание, либо его отрицание должно быть истинным	А۷¬А=1
Закон двойного отрицания	¬(¬А)=А
Законы де Моргана	¬(А۷В)=¬А۸¬В ¬(А۸В)=¬А۷¬В

Полезно знать также формулу для выражения импликации через отрицание и логическое сложение:

A→B= ¬ A٧B

У логических операций имеются ряд свойств, знание которых облегчает решение ряда заданий:

• A٧0=A

• A۸0=0

• A٧1=1

• A۸1=A

• 0→A=1

Сегодня мы разберём некоторые типы заданий.

(Слайд 11)

Начнём с части А.

К данной теме отводятся следующие задания А7, А8, А9, А12.

(Слайды 12-13)

Пример 1 (А8), на решение отводится 2 мин

Тема задания «Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана»

Какое логическое выражение равносильного выражению ¬(А۸В)۸¬С?

1) ¬А۷В۷¬С

2) (¬А۷¬В)۸¬С

3) (¬А۷¬В)۸С

4) ¬А۸¬В۸¬С

Решение

Применим отрицание к выражению в скобках в соответствии с законом де Моргана:

¬(А۸В)۸¬С=(¬А۷¬В)۸¬С

(Слайды 14-15)

Пример 2 (А9), на решение отводится 2 мин

Тема задания «Построение таблиц истинности логических выражений»

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

4

Z	Y	Z	F
1	0	0	1
0	0	0	1
1	1	1	0

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X Ù ¬Y Ù ¬Z

2) X Ù Y Ù Z

3) X Ú Y Ú Z

4) ¬X Ú ¬Y Ú ¬Z

Решение

Последовательно подставим первую строку таблицы истинности во все варианты ответов:

X	Y	Z	F	1	2	3	4
1	0	0	1	0 ×	0 ×	1	1
0	0	0	1	–	–	0 ×	1
1	1	1	0	–	–	–	0

Таким образом, правильный ответ - 4

(Слайды 16-17)

Пример 3 (А7), на решение отводится 2 мин

Тема задания: «Основные понятия математической логики»

Для какого числа X истинно высказывание: ¬((X > 2)→(X > 3))?

1)1 2)2 3)3 4)4

Решение

1 . Расставим порядок действий: ¬((X > 2)→(X > 3))

2. Составим таблицу истинности:

X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
1	0	0	1	0
2	0	0	1	0
3	1	0	0	1
4	1	1	1	0

Ответ: 3

(Слайд 18)

Пример 4, на решение отводится 2 мин

Тема задания: «Основные понятия математической логики»

Для какого имени истинно высказывание

¬(ПЕРВАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ Ù ВТОРАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ) Ù ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА ГЛАСНАЯ?

1) Роман 2) Юнона 3) Андрей 4) Кристина.

Решаем самостоятельно и обсуждаем решение задачи, сверяем ответ (2).

5