Южно-Уральский государственный университет

Факультет Экономики и управления

Кафедра

Экономической теории и мировой экономики

И.В. Данилова, С.А. Никифоров, М.В. Никифорова

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Челябинск 2008

Введение

Профессиональное занятие бизнесом требует умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Многие решения финансового характера, принимаемые на интуитивной основе, могут оказаться ошибочными. Владея знаниями и приемами формализованных оценок финансовых последствий, в большинстве случаев можно избежать дорогостоящих ошибок.

Курс «Финансовая математика» предполагает освоение техники процентуальных расчетов для решения следующих задач: измерения конечных результатов финансовых операций (сделки, контракты) для каждой из участвующих сторон; разработки планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности; измерения зависимости конечных результатов операции от ее основных параметров; расчета параметров эквивалентного (безубыточного) изменения условий операции.

Тема 1. Введение в предмет финансовой математики

Предмет и задачи курса. Время как фактор в финансовых расчетах. Базовая терминология и сущность процентных расчетов: первоначальная сумма, наращенная сумма, процентные деньги, процентные ставки, период и интервал начисления процентов.

Основные процедуры финансовых вычислений: наращение (рост) и дисконтирование, множители (коэффициенты) наращения и дисконтирования. Способы начисления процентов: декурсивный и антисипативный (учетный) процент. Виды ставок: простая и сложная.

Тема 2. Простые проценты

Базовая формула декурсивных простых процентов и ее модификация. Коэффициенты наращивания и дисконтирования. Определение срока, ставки, первоначальной (современной) суммы в расчетах. Применение ставки простых процентов при вычислениях до года: германский, французский, английский методы. Использование таблиц в краткосрочных расчетах (таблица «Порядковые номера дней в году»). Частные способы использования базовой формулы: изменение суммы, срока, переменные ставки процентов в операциях до года. Вычисления с использованием постоянного делителя (дивизора).

Базовая формула простой учетной ставки. Понятие банковского (коммерческого) учета. Дисконт как разновидность процентных денег. Коэффициенты наращивания и дисконтирования при учетном проценте. Определение срока, ставки и наращенной суммы. Банковское и математическое дисконтирование.

Математическое дисконтирование по простым процентам в условиях неизменной и переменной ставки процента. Реинвестирование по простым ставкам.

Процентные ценные бумаги: совмещение процедуры наращивания и дисконтирования по простым ставкам.

Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок.

Теоретические положения темы

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн.руб., полученный через год. не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы, в свою очередь, могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирoвaния денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь тогда, когда фактор времени не имеет значения, например в бухучете (для получения итогов по периодам) и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

2.1. Проценты и процентные ставки. Под процентными деньгами или процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме (предоставление денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Наиболее ответственный момент связан с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором — сложными процентными ставками.

Процентные ставки могут быть постоянными (фиксированными) или переменными (плавающими). В первом случае размер фиксированной ставки однозначно указывается в контракте. Во втором — указывается изменяющаяся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR — London Interbank Oftered Rate) или московская межбанковская ставка МИБОР (MIBOR). Размер маржи определяется целым рядом условий, в частности сроком ссудной операции и т.д. Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5—5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита пли депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

2.2. Формула наращения по простым процентам. Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма, вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть Р — первоначальная сумма денег, i — ставка простых процентов (ниже она выражена в десятичных долях первоначальной суммы). Начисленные проценты за один период равны Pi, a за п периодов — Pni.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины

Р, P + Pi = Р (1 + i), Р (1 + i ) + Pi = Р (1 + i) и т.д. до Р (1 + ni).

Первый член этой прогрессии равен Р, разность Pi, а последний член, определяемый как

S=P(1+ni) (1)

является наращенной суммой, т.е. суммой, наращенной к концу n-го промежутка начисления.

Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1 + ni) является множителем наращения. Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р суммы процентов I (процентных денег)

(2)

S=P + I,

где

I = Pni. (3)

Pni

Процесс роста суммы долга по простым процентам можно представить графически (рис. 1). При начислении простых процентов по ставке I за базу берется первоначальная сумма долга – точка Р на оси OS.

Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке

Полагая, что формула (1), выведенная для целых п, справедлива для любых нецелых промежутков начисления t, получаем линейный рост наращенной суммы S со временем.

Задача 1. Рассчитайте проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

Решение. По формулам (2) и (3) находим

I = 100 000 х 1,5 х 0,15 = 22 500 руб. — проценты за 1,5 года;

S = 100 000 + 22 500 = 122 500 руб. — наращенная сумма.

2.3. Практика начисления простых процентов. Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

(4)

где п — срок ссуды (измеренный в долях года); К— число дней в году (временная база); t — срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий, процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Расчет числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев приближенно полагается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемых на практике:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365, британская практика);

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/360, французская практика);

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (схема 360/360, германская практика).

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Задача 2. Ссуда размером 1000000 руб. выдана 21 января 2002г. до 3 марта 2002г. при ставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды;

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение: Используя формулы (3) и (4), получим:

а) К = 365, t =41, I = 1000000-0,2 (41/365) = 22465,75 руб.;

б) К = 360, t = 41, I = 1000000-0,2 (41/360) = 22777,78 руб.;

в) К = 360, t = 43, I = 1000000-0,2 (43/360) = 23888,89 руб.

2.4. Простые переменные ставки. Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

S = Р (1 + n₁i₁ + n₂i₂ … + n_ki_k) = Р (1 + ∑n_ti_t ) (5)

где Р— первоначальная сумма (ссуда); i_t — ставка простых процентов в периоде с номером t, n_t — продолжительность периода с номером t, т.е. периода начисления по ставке i_t .

Задача 3. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий — на 1% меньше, чем в предыдущий. Определить множитель наращения за весь срок договора:

1 + ∑n_ti_t =1 + 0,25·0,10+ 0,25·0,09 +0,25·0,08+ 0,25·0,07= 1,085.

2.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам. В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S. Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов: путем наращения суммы ссуды и вычислением скидки с конечной суммы долга.

Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование. Приведение — это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то — наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

,

то в обратной

. (6)

Дробь в правой части равенства (6) при величине S называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D=S-P. (7)

Задача 4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение. Применяя формулы (6) и (7), получим:

= 1000000 / (1 + 0,20-90/360) = 952380,95 руб.;

D=S-P= 1000000-952380,95 = 47619,05 руб.

Банковский, или коммерческий, учет. Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую обозначается символом d.

По определению, простая годовая учетная ставка находится как

(8)

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd, (9)

откуда

. (10)

Множитель (1-nd) называют дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Задача 5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых (год принят равным 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение. Используем формулы (9) и (10):

D = Snd = 1000 000 - 0,2 (90/360) = 50 000 руб.;

Р= S-D= 1 000 000-50 000 = 950 000 руб.

Задания

1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 7% простых в год, вклад 3,0 тыс.руб. Какая сумма будет на счету вкладчика а) через 3 месяца, б) через 1 год, в) через 3 года 5 месяцев?

2. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4% простых в год, чтобы получить 50000 руб. а) через 4 месяца, б) через 1 год, в) через 2 года 9 месяцев?

3. В банк, выплачивающий 6% простых годовых, положили 60 тыс.руб. Через сколько лет на счету будет 65,4 тыс.руб.?

4. Фермер собирает деньги на постройку нового коровника и положил в банк 100 тыс.руб. Через 2 года 6 месяцев на счету было 120 тыс.руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год?

5. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год – 60%, в каждом следующем полугода ставка повышается на 10%. Во сколько раз увеличится первоначальная сумма по истечении 2,5 лет?

6. Коммерческим банком выдан кредит в сумме 700 долл. под простые проценты – 8% годовых. Определите величину погасительного платежа, если срок пользования кредитом составляет 4 года 8 месяцев.

7. Клиенту выдана ссуда на срок с 12 сентября 2000г. по 5 марта 2001г. под 9% годовых. Определите размер погасительного платежа, если первоначальная величина ссуды составляет 12 тыс.долл.

8. Определите величину простой процентной ставки, при которой за 2,5 года вклад вырос до 600% от первоначальной суммы.

9. За 1 год и 9 месяцев вклад вырос в 13,5 раз. Определите величину процентной ставки.

10. За 2 года и 4 мес. Доход составил 188% от первоначального вклада. Определите величину процентной ставки.

11. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится в 5 раз?

12. Банк выдал г-ну Фёдорову ссуду в 90 тыс.руб. на 2 года под простой дисконт, равный 12% в год. Какая сумма будет выдана господину Фёдорову на руки?

13. Г-н Фёдоров из предыдущего задания желает получить при тех же условиях на руки 90 тыс.руб. Какую сумму он будет должен банку?

14. Какую сумму будет должен банку г-н Фёдоров из задания 4, если он получит ссуду под 12% годовых (простых)? Что выгоднее г-ну Фёдорову: взять ссуду под простой дисконт или под простые проценты?

15. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду в 90 тыс.руб. на два года под простой дисконт, равный 12% в год. Какую сумму получила компания на руки?

16. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду на два года под простой дисконт, равный 12% в год. Компания желает получить на руки 90 тыс.руб. Какую сумму она будет должна банку?

17. Компания по производству радиоаппаратуры получила в коммерческом банке ссуду на два года под 12% годовых (простых). Компания желает получить на руки 90 тыс.руб. Какую сумму она будет должна банку?

18. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 80% годовых с условием вернуть 3 млн.руб. Определите, какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

19. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс.руб., срок которого 1 июля. Он хочет учесть его 1 марта того же года в банке, простая учётная ставка которого 7%. Какую сумму получит г-н Петров за этот вексель? Какую сумму получит г-н Петров, если срок этого векселя 1 июля следующего года?

20. Какую прибыль получит банк в результате учёта 20 мая трёх векселей по 20 тыс.руб. каждый, если срок оплаты первого векселя 10 сентября, а двух других — 1 октября того же года и учётная ставка этого банка равна 10%?

21. Клиент учёл 1 февраля 1992 года вексель на сумму 40 тыс.руб., срок которого 1 июня того же года, и получил за него 38,79 тыс.руб. Какова учётная ставка банка?