7.3 Порівняння математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин ( залежні вибірки )

Нехай з двох генеральних сукупностей зроблено дві вибірки однакових об’ємів, варіанти, яких попарно залежні.Наприклад, виміри однієї величини проведено в одному і тому ж порядку двома приладами ; двома лабораторіями проведено дослідження одним методом; однією лабораторією проведено дослідження двома методами.

Якщо генеральні сукупності розподілені нормально, причому їх дисперсії відомі, а вибірки залежні і однакових об’ємів, тоді за критерій первірки нульової гіпотези беруть випадкову величину

,

де _.

Якщо генеральні сукупності та розподілені нормально, причому їх дисперсії невідомі, а вибірки однакових об’ємів, то порівняння двох математичних сподівань зводиться до порівняння вибіркового середнього з гіпотетичним.

Тобто нульова гіпотеза , при альтернативній гіпотезі замінюється нульовою гіпотезою для випадкової величини при альтернативній гіпотезі .

За критерій перевірки нульової гіпотези беруть випадкову величину

,

яка має розподіл Стьюдента з ступенями вільності.

Сформулюємо практичне правило перевірки нульової гіпотези

При заданому рівні значущості перевірку нульової гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених генеральних сукупностей з невідомими дисперсіями (якщо вибірки залежні і однакових об’ємів) при альтернативній гіпотезі проводять за схемою :

1. Вводять в розгляд випадкову величину , варіанти якої знаходять за формулами .

Обчислюють вибіркове середнє і виправлену дисперсію .

2. Знаходять спостережуване значення критерію

.

3. З таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (таблиця № 8 додатку 2-двостороння критична область) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять критичну точку двосторонньої критичної області .

Якщо - нульову гіпотезу приймають.

Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.

Приклад 7.3

На двох аналітичних вагах, в одному порядку зважено 10 проб деякої хімічної речовини. Отримано такі результати зважувань :

25 30 52 24 35 33 43 45 39 35

_{27 7 54 26 32 37 45 48 38 32}

При рівні значущості визначити чи значно відрізняються середні результати аналізів в припущенні, що вони розподілені нормально.

1. Обчислюємо варіанти випадкової величини , віднявши від значень відповідні значення . Отримаємо :

-2 1 -2 -2 3 -4 -2 -3 1 3

Оскільки

,

то

;

.

2. Знаходимо спостережуване значення критерію

3. З таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (таблиця №8 додатку 2 -двостороння критична область) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходимо критичну точку .

Оскільки - нульову гіпотезу приймаємо.

Отже, середні результати зважувань відрізняються не значно. 

Вправи для самостійної роботи

1. З нормально розподіленої генеральної сукупності з середнім квадратичним відхиленням зроблено вибірку об’єму і по ній обчислено вибіркове середнє . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі .

2. За вибіркою об’єму , зробленою із нормально розподіленої генеральної сукупності :

При рівні значущості перевірити гіпотезу при альтернативній гіпотезі .

3. За вибіркою об’єму обчислено середню вагу г виробів, виготовлених на першому автоматі, а за вибіркою об’єму обчислено середню вагу г виробів, виготовлених на другому автоматі. Дисперсії генеральних сукупностей дорівнюють : , . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність математичних сподівань при альтернативній гіпотезі .

4. З двох партій виробів, виготовлених на двох однаково налаштованих станках зробили малі вибірки :

1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42

1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 .

При рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність середніх розмірів виробів при альтернативній гіпотезі (в припущенні, що випадкові величини та розподілені нормально).

5. Лабораторією проведено аналіз в одному і тому ж порядку проб двома методами. Отримано такі значення процентного вмісту деякої речовини в кожній пробі першим ( ) та другим ( ) методами :

23 31 50 22 38 7 41 42 40 38

25 30 52 24 35 33 43 45 39 35

При рівні значущості визначити чи значно відрізняються середні результати аналізів в припущенні, що вони розподілені нормально.

6. Завод розсилає рекламні каталоги можливим замовникам. Із попереднього досвіду відомо, що ймовірність того, що організація, отримавши каталог, замовить рекламований виріб, дорівнює 0,09. Завод розіслав 2000 каталогів покращеної форми і отримав 200 замовлень. Чи можна вважати, що нова форма реклами ефективніша попередньої ? (рівень значущості ).

11