Дисперсії генеральних сукупностей не відомі
Припустимо,
що для нормально розподілених
випадкових величин
та
дисперсії
і
невідомі.
Якщо дисперсії
генеральних сукупностей невідомі, але
незалежні вибірки є великих об’ємів
(не менше 30 кожна), то вибіркові середні
і
розподілені нормально (за ЦГТ), а вибіркові
дисперсії
і
можна
вважати досить добрими оцінками дисперсій
і
.
Тоді нульову
гіпотезу
можна перевірити взявши за критерій
величину
,
яка при справедливій нульовій гіпотезі
розподілена за законом
.
Але, оскільки цей критерій наближений, то до висновків зроблених за ним, відноситись треба обережно.
Нехай із двох нормально розподілених генеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі, зроблено вибірки малих об’ємів. В цьому випадку не можна отримати хороших оцінок дисперсії, тому застосувати критерій з попереднього пункту не можна.
Але, якщо припустити, що невідомі дисперсії однакові, то можна побудувати критерій порівняння середніх
.
Випадкова величина
при справедливій нульовій гіпотезі
має розподіл Стьюдента з
ступенями вільності. Критична область
визначається альтернативною гіпотезою.
Якщо альтернативна
гіпотеза
то двосторонню
критичну область вибирають з умови
.
Оскільки розподіл
випадкової величини
симетричний відносно нуля, то значення
для даного рівня значущості
вибирають так, щоб
.
На
практиці
,
знаходять з таблиці розподілу Стьюдента
(таблиця № 8 додатку 2
-
двостороння
критична одласть
) за рівнем
значущості
і числом ступенів вільності
.
Область прийняття
нульової гіпотези:
.
Якщо альтернативна
гіпотеза
,
(
), то критичні
області будують з умови
,
відповідно.
Значення знаходять з таблиці розподілу Стьюдента за даним значущості ( таблиця № 8 додатку 2 -одностороння критична область ) і числом ступенів вільності .
Якщо ж невідомо чи дисперсії однакові, то перш ніж порівнювати математичні сподівання потрібно за критерієм Фішера-Снедекора попередньо перевірити гіпотезу про рівність дисперсій.
Сформулюємо практичне правило перевірки нульової гіпотези
При заданому рівні значущості перевірку нульової гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених сукупностей з невідомими, але однаковими дисперсіями за малими незалежними вибірками проводять за схемою :
1.
Одним із методів знаходять вибіркові
середні
і виправлені дисперсії
і
.
2. Обчислюють спостережуване значення критерію
.
.
А) Альтернативна гіпотеза .
З таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (таблиця №8 додатку 2-двостороння критична область) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять критичну точку .
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо
- нульову гіпотезу відхиляють.
б) Альтернативна
гіпотеза
.
З таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (таблиця №8 додатку 2-одностороння критична область) за рівнем значущості і числом ступенів вільності знаходять критичну точку правосторонньої критичної області .
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.
в) Альтернативна гіпотеза .
Знаходимо критичну точку як в пункті б).
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.
Зауваження
Якщо ж невідомо чи дисперсії однакові, то перш ніж порівнювати математичні сподівання потрібно за критерієм Фішера-Снедекора попередньо перевірити гіпотезу про рівність дисперсій.
Приклад 7.2
За вибіркою об’єму
обчислено середню вагу
г виробів, виготовлених на першому
автоматі, а за вибіркою об’єму
обчислено середню вагу
г виробів, виготовлених на другому
автоматі. Дисперсії генеральних
сукупностей дорівнюють :
,
.
При рівні значущості
перевірити нульову гіпотезу
про рівність математичних сподівань
при альтернативній гіпотезі
.
Знаходимо спостережуване значення критерію
.
За умовою альтернативна гіпотеза , отже, критична область – двовостороння.
Знаходимо критичну
точку із рівності
.
З таблиці функції
Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) знаходимо
.
Оскільки
,
нульову гіпотезу про рівність математичних
сподівань відхиляємо.