7.2 Перевірка гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин
7.2.1 Дисперсії генеральної сукупності відомі
Розглянемо нормально
розподілені випадкові величини
та
.
Припустимо, що за результатами спостережень
над ними зроблено дві незалежні вибірки
об’ємів
і
.
Потрібно перевірити гіпотезу
про рівність математичних сподвань
(центрів розподілу) нормально розподілених
випадкових величин
та
,
тобто
.
Оскільки вибіркові середні є незміщеними
оцінками генеральних середніх, тобто
і
,
то нульову гіпотезу можна записати так:
.
Тоді за критерій
перевірки нульової гіпотези беруть
випадкову величину
.
Оскільки
і
,
а
,
,
то
.
Тому за характеристику критерію беруть величину
.
Критерій
– нормована нормальна випадкова величина
. Дійсно, при справедливості нулової
гіпотези,
розподілена нормально (як лінійна
комбінація нормально розподілених
випадкових величин
і
за законом
).
Критична область визначається видом альтернативної гіпотези.
Зокрема,
якщо альтернативна гіпотеза
,
то двостороння критична область будується
так, щоб їй належали всі значення
статистичної характеристики
,
які задовольняють умову
,
де значення
визначаються для рівня значущості
з рівності
за таблицею функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2).
Якщо
альтернативна гіпотеза
,
то до критичної області входять ті
значення критерію
,
які задовольняють нерівність
,
де значення
визначається для рівня значущості
з рівності
за таблицею функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2).
Якщо альтернативна
гіпотеза
,
то критична область визначається
нерівністю
з умови
,
де значення
визначається з рівності
.
Сформулюємо практичне правило перевірки нульової гіпотези.
Нехай із двох
нормально розподілених генеральних
сукупностей, дисперсії яких
,
відомі, зроблено незалежні вибірки
об’ємів
і
(
,
).
За критерій
перевірки нульової гіпотези
беруть величину
яка
при справедливості нульової гіпотези)
розподілена нормально
.
Критична область визначається альтернативною гіпотезою.
При заданому рівні значущості перевірку нульової гіпотези про рівність математичних сподівань (генеральних середніх) двох нормально розподілених генеральних сукупностей з відомими дисперсіями (якщо вибірки великих об’ємів) проводять за схемою :
1.
Одним із методів обчислюють вибіркові
середні
і
.
2.
Знаходять спостережуване значення
критерію
.
3. А) Альтернативна гіпотеза .
З таблиці функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) знаходять критичну точку двосторонньої критичної області з рівності
.
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.
б) Альтернативна
гіпотеза
.
З таблиці функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) знаходять критичну точку правосторонньої критичної області із рівності
.
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо - нульову гіпотезу відхиляють.
в) Альтернативна
гіпотеза
.
З таблиці функції Лапласа (таблиця № 2 додатку 2) знаходимо критичну точку лівосторонньої критичної області з рівності
.
Якщо - нульову гіпотезу приймають.
Якщо - нульову гіпотезу відкидають.